广东省高中数学试卷
一、选择题
1.下列积分正确的是()
尚()
A.有最大值0，没有最小值。
B.最大值为0，最小值为-323。
C.有最小值-323，没有最大值。
D.既没有最大值，也没有最小值。
【答案】B
【解析】f(x)= 0x(T2-4t)dt = 13t3-2t2x 0 = 13x 3-2 x2(-1≤x≤5)。
F' (x) = x2-4x，从f' (x) = 0，x = 0或x = 4，如下表所示:
x(-1，0)0(0，4)4(4，5)
f′(x)+0-0+
F(x)？最大和最小？
可见最大f (0) = 0，最小f (4) =-323。
F (-1) =-73，F (5) =-253。
∴最大值为0，最小值为-323。
第二，填空
11.计算定积分:
①1-1x2dx=________
②233x-2x2dx=________
③02|x2-1|dx=________
④0-π2|sinx|dx=________
【答案】23；436;2;1
【解析】①1-1x2dx = 13x 31-1 = 23。
②233x-2x2dx=32x2+2x32=436。
③02 | x2-1 | dx = 01(1-x2)dx+12(x2-1)dx
= x-13x 310+13x 3-x 21 = 2。
【答案】1+π 2
13.(2010?陕西院，13)如果从如图所示的矩形区域中取任意一点M(x，y)，则该点M取阴影部分的概率为_ _ _ _ _ _。
【答案】13
【解析】若一个长方形的面积为S1 = 3，S Yin = 013 x2 dx = x 310 = 1，则P = S1s Yin = 13。
14.已知f (x) = 3x2+2x+1。如果1-1f (x) dx = 2f (a)成立，那么a = _ _ _ _ _ _。
【答案】-1还是13
【解析】由已知f (x) = x3+x2+x，f (1) = 3，f (-1) =-1，
∴1-1f(x)dx=f(1)-f(-1)=4，
∴2f(a)=4,∴f(a)=2.
即3A2+2A+1 = 2。解是A =-1或13。
第三，回答问题
15.计算下列定积分:
(1)052 xdx；(2)01(x2-2x)dx；
(3)02(4-2x)(4-x2)dx；(4)12x2+2x-3xdx。
【解析】(1) 052xdx = x250 = 25-0 = 25。
(2)01(x2-2x)dx = 01x2dx-012 xdx
= 13x 310-x 210 = 13-1 =-23。
(3)02(4-2x)(4-x2)dx = 02(16-8x-4x 2+2x 3)dx
= 16x-4x 2-43x 3+12x 420
=32-16-323+8=403.
(4)12 x2+2x-3xdx = 12x+2-3xdx
= 12 x2+2x-3 lnx 21 = 72-3 LN2。
16.计算下列定积分:
【解析】(1)若f (x) = 12 sin2x，则f’(x)= cos2x。
=121-32=14(2-3).
(2)设f (x) = x22+lnx+2x，则
f′(x)= x+1x+2。
∴23x+1x2dx=23x+1x+2dx
=F(3)-F(2)
=92+ln3+6-12×4+ln2+4
=92+ln32。
(3)若f (x) = 32x2-cosx，则f' (x) = 3x+sinx。
17.计算下列定积分:
(1)0-4 | x+2 | dx；
(2)给定f (x) =，求3-1f (x) dx的值。
[分辨率](1)∫f(x)= | x+2 | =
∴0-4|x+2|dx=-4-2(x+2)dx+0-2(x+2)dx
=-12 x2+2x-2-4+12 x2+2x 0-2
=2+2=4.
(2)∫f(x)= 1
∴3-1f(x)dx=0-1f(x)dx+01f(x)dx+12f(x)dx+23f(x)dx=01(1-x)dx+12(x-1)dx
=x-x2210+x22-x21
=12+12=1.
18.(1)给定f(a) = 01 (2ax2-a2x) dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f (x) = ax2+bx+c (a ≠ 0)，且f (-1) = 2，f' (0) = 0，01f (x) dx =-2，求a，b，c的值。
【解析】(1)设f (x) = 23ax3-12a2x2。
那么f' (x) = 2ax2-a2x
∴f(a)=01(2ax2-a2x)dx
= F(1)-F(0)= 23a-12 a2
=-12a-232+29
当a = 23时，f(a)的最大值为29。
(2)∵f(-1)=2,∴a-b+c=2①
且∵f′(x)= 2ax+b，∴f′(0)= b = 0②。
而01f(x)dx = 01(ax2+bx+c)dx。
设f(x)= 13ax 3+12bx2+CX。
那么f' (x) = ax2+bx+c
∴01f(x)dx=f(1)-f(0)=13a+12b+c=-2③
对于解① ② ③，A = 6，b = 0，c =-4。