在2010全国数学高中联赛中寻找问题答案。
试试看。
一、填空(每小题8分，***64分，)
1.该函数的范围是。
2.给定函数的最小值为，实数的范围为。
3.双曲线的右半支和直线围成的区域内的整点(纵坐标和横坐标都是整数的点)的个数为。
4.已知容差不相等的等差数列是几何级数，其中每一个正整数都有一个常数，那么。
5.函数在区间中的最大值是8，那么它在这个区间中的最小值是。
6.两个人轮流掷骰子。每个人一次扔两个骰子。如果两个骰子点数之和大于6，第一个人获胜，否则另一个人将掷骰子。第一个的中奖概率是。
7.正三棱柱的九条边都是等长的，也就是中点和二面角，那么。
8.方程满足的正整数解(x，y，z)的个数为。
二、答题(此题满分56分)
9.(16分)已知函数的最大值，when，when。
10.(20分)已知抛物线上的两个动点，线段的中垂线与轴线相交于该点，求最大面积。
11.(20分)证明了方程恰好有一个实根，存在唯一的严格递增正整数序列，使得+…
附加检验
1.(40分钟)如图，锐角三角形ABC的外心为o，k为BC边上的一点(不是BC边的中点)，d为线段AK延长线上的一点，直线BD在n点与AC相交，直线CD在m点与AB相交验证:若OK⊥MN，则a、b、d、c为四点* *。
2.(40分)设k为给定正整数，。注意，。证明有一个正整数M，使得它是一个整数。这里，它表示不小于实数X的最小整数，例如，。
3.(50分)给定一个整数，让一个正实数满足N+，记住。
3…….
验证:
4.(50分)密码锁的密码设置是给正N边形的每个顶点分配0和1两个数字中的一个，同时涂上红蓝两种颜色中的一种，使任意两个相邻顶点的数字或颜色至少有一个相同。问:这个密码锁* *，有多少种不同的密码设置？
试试答案。
1.提示:容易知道的域是，而且在世界上是递增函数，所以知道的范围是。
2.提示:Make，那么原函数就变成了，也就是，
。
由，，而知。
。(1)
当(1)始终成立；
对；没错。所以我们可以看到。
3.9800提示:根据对称性，只要先考虑轴上方的情况，双曲线的右半部分与直线分支相交，线段内部的积分点数为，那么轴上方区域内部的积分点数为。
。
轴上有98个整点，所以整点的个数是。
4.提示:如果公差设置为的常用比率，则
(1)
, (2)
(1)代入(2)得到。
因此，它适用于所有正整数，也就是说，它适用于所有正整数。
因此
,
获取，。
5.提示:使原函数成为，这在历史上是不断增加的。
当，，
,
因此
；
当，，
,
因此
。
综上所述，世界上的最小值是。
6.提示:同时掷出两个骰子的点数之和大于6的概率为，所以第一个掷出者的获胜概率为。
。
7.提示:解法一:如图，以直线为轴，以线段中点为原点，以直线为轴，建立空间直角坐标系。设正三棱柱的边长为2，那么，这样，。
设垂直于平面和平面的向量为，则
这个是可以设置的，所以，就是，
。
所以。
解决方案二:如图。
制定并提交规则。
因此平坦。
如果你在飞机上工作，你的脚会掉下来。
连接是二面角的平面角。如果设置了，则很容易获得。
也就是说，成直角。
又来了。
。
8.336675提示:首先，容易知道的正整数解的个数是。
满意的正整数解分为三类:
等号(1)的正整数解个数明显是1；
(2)只有两个相等的正整数解的个数很容易知道是1003；
(3)设不相等的两两正整数解为。
一只
,
因此
,
也就是
。
因此满足的正整数解的数量为
。
9.解决方案1:通过
。
因此
,
所以很容易知道when(是常数)满足题目的条件，所以最大值为。
解决方案2:设置，然后当，。
那好吧。
。
很容易知道什么时候，所以什么时候，也就是说。
,
因此，通过了解。
也很容易知道when(为常数)满足出题条件，所以最大值为。
10.解1:设线段中点为，
。
线段的垂直平分线的方程式是
。(1)
一枝是(1)的一个解，所以线段的中垂线与轴的交点是一个固定点，该点的坐标为。
从(1)，直线的方程是，即
。(2)
(2)替代，即
。(3)
根据问题的意思，是方程(3)的两个实根，因此，
,
。
。
固定点到线段的距离
。
。
等号成立当且仅当，即，或。
因此，最大面积为。
解法二:同解法一，线段的中垂线与轴线的交点为一个固定点，点坐标为。
如果，那么的绝对值，
,
所以，当且仅当且，也就是，或者
时间等于符号成立。
所以，最大面积是。
11.因此，它是严格递增的。而且，它有唯一的实数根。
所以，
。
所以系列是符合题目要求的系列。
如果有两个不同的正整数序列，并且和满足
,
去掉上述等式两边的相同项，有
,
在这里，所有和都是不同的。
那就准备好吧
,
,
矛盾。所以满足问题的序列是唯一的。
添加测试答案
1.使用归谬法。若A、B、D、C不是四点圆，设三角形ABC的外接圆与AD在E点相交，连接BE并在Q点延伸线AN，连接CE并在P点延伸线AM，连接PQ。
因为p的幂(约⊙O)和幂⊙O) K(约⊙O)
,
以同样的方式；以类似的方式
,
所以，
所以⊥.由题，OK⊥MN，所以pq∨Mn，所以
。①
根据梅内利奥斯定理，得出结论
, ②
。③
由①、②、③可得，所以△DMN ∽ △DCB，所以，所以BC∨Mn，所以OK⊥BC，即k是BC的中点，矛盾！以至于四个点都* * *圆。
注1:“P的幂(约⊙O)和幂⊙O) K(约⊙O)的证明”:将PK延拓到点F使得
, ④
那么p，e，f和a是四个* * *圈，所以
,
所以E，C，F和K是四个* * *圈，所以
, ⑤
⑤-⑤，得到
p的幂(约O)和幂⊙O) K(约O)。
注2:如果E点在线段AD的延长线上，则完全相似。
2.符号表示正整数n中包含的2的幂，那么当，它就是一个整数。
接下来，我们将使用数学归纳法。
当k是奇数和偶数时，此时，
是一个整数。
假设命题对成立。
对于，设k的二进制表示形式为。
,
这里，或者1，
因此
, ①
这里
。
显然，其中包含的2的幂是。因此，由归纳假设可知，通过f的V次迭代得到一个整数，由①可知是一个整数，完成了归纳证明。
3.你知道，是的，有。
我注意到有就有，所以是的，有。
,
因此
。
4.对于这个密码锁的一个密码设置，如果赋给两个相邻顶点的数字不同，用A标记，如果颜色不同，用B标记，如果数字和颜色相同，用c标记，所以对于给定点上的设置(* * *有四种)，可以根据边上的字母依次确定该点上的设置。为了使最终返回时的设置与开始时相同，标有A和B的边都是偶数。所以这个密码锁不同密码设置方法的个数等于边上标注A、B、C的方法个数，这样标注A、B的边就是偶数个数的四倍。
假设标有A的边有一条，标有B的边有一条。有选择条边标记A的方法，有从剩余边中取出条边标记B的方法，有标记剩余边c的方法，根据乘法原理，此时有* * *的标记方法。I和J之和，密码锁所有不同密码设置方法的数量为
。①
我们同意这一点。
当n为奇数时，此时，
。②
代入①公式，你得到
。
当n是偶数时，如果，那么等式2仍然成立；如果，正N边形的所有边都用a标记，此时只有一种标记方法。因此，当n为偶数时，所有不同密码设置的方法数量为
。
总结一下，这种密码锁所有不同的密码设置方式如下:当n为奇数时，有两种；当n是偶数时，有两种。
2010全国高中数学联赛
评论
10 6月17日结束的全国高中数学联赛满分300分，其中120分* * 11题80分，180分* * 4题150分。
整体来看，今年考的小题难度与去年基本持平，大题难度略高于去年。二测的水平难度更大，与去年基本持平，而接下来的三大题难度明显低于去年。所以估计今年北京一等奖的分数可能和去年基本持平，略高，应该在160左右；但是因为二测后的三大题没有去年最后一个难，基本都是北京队水平的学生的标准题，所以今年北京进入冬令营的线(前八)可能会很高，可能在240分以上，250分左右，最高分可能在280分以上。
笔者第一时间了解了几个省市高层。其中可能有广东省满分的学生，而湖南省最高分可能在280以上，来自长沙一中。在湖北省，华师大一附中250分以上的学生，可能至少有四五个，有的接近满分。
以下是对这组问题的简单评论:
因为公式录入比较难，所以建议没有参加比赛的同学把我录入的题下载PDF版打印出来，然后先做，做完之后自己查答案。评论里不会给出详细答案。
1，这个问题很简单，给定函数是明显递增的，所以在边界处求极值；
2.看了答案，你可能觉得这个问题不难。其实命题人把这个问题放在第二个问题里，说明命题人也觉得很简单。但考场上的事实是，很多同学，包括很多专家，都卡在了这个问题上。原因是大家都习惯了高中求导求极值的方式，没有向左移动-3，所以最后的结果很复杂，讨论甚至进行不下去，因为最后变成了三次函数；事实上，标准答案中给出的因式分解法也需要一定的计算量；
回顾近几年的考题，前年的第二大题也是用因式分解解决的，但是很少有人解决。原因可能是经过两年多的高中学习，大部分同学对因式分解这种“低级技能”接触不多。
3.通过枚举很容易得到9800的和。但搞笑的是，标准答案中给出了一个经典的错误答案，甚至有很多同学得到了那个答案。
这是一道标准的高考题，放在高考试卷里也不会有人觉得奇怪。发送子问题
5.还是一个标准的分题。
6.典型的几何概率问题，简单计算就能解答；问题是标准答案里没有约定。
7.还是高考立体几何的标准题型，只是作为填空题使用。
8.组合计数问题，其实一个一个列举，总结起来更快。不难。
9、第一个大问题，个人觉得这个题目还是有些难度的，如果没见过类似的问题。不过每个参赛训练过的同学，可能都接触过很多次这种类型的题，应该问题不大。
10，计算三角形面积，需要确定边的长度和点到边的距离。这个计算量不小，无论是均值还是导数，最终的最大值都很容易得到。但是在评分的时候算出坐标计算量是夸张的。我估计考场上只有几个同学给了这个坐标值。
11.要证明原方程只有一个实根，显然导函数大于零。接下来的证明，对于竞赛基础强的同学来说，其实可能是常识，只是一个书写速度的问题。但是大部分同学面对这类问题还是很头疼的，尤其是因为前一道题的计算量不小，大部分同学看到这道题的时间都很少。其实我们可以证明题目中的0.4可以变成任何小于0.5的数的广义命题。证明的基本思想是通过几何级数求和缩放。
总结:代数的味道很浓；大部分题目和高考难度一样；计算量极大；2，10，11都是比较难的题目。如果没有看到类似的题，那么9也是比较难的。
但相比之前的150试卷，第一张试卷的难度已经大大降低。你可以随便找一个03-08联赛的真实标题，你会找到的。
今年大家的考试分数可能不会很高。首先，许多学生在第二个问题上卡住了。二是计算量太大，最后两道题不一定能及时做完。
接下来，我们来看第二次尝试:
第一个问题是分数，40分。去年的平准题图形比较复杂，改编自2003年的集训队选择题。今年的题目可能比去年难，至少据我所知，只有极少数超一流的专家才算出来。大部分同学要么早早放弃，要么在这个题目上浪费了一个多小时后忍痛放弃。这就导致了两个结果:放弃早的同学会占便宜，因为后三个题目可能比去年容易。这样，你在第二次考试中会得到很多分。在这个题目上浪费太多时间的同学会很惨，本来后面可以做的题可能做不及时。
这个问题的图形很简单。其实这个问题是完全四边形的一个基本性质，可以在高等几何等平面几何参考书中找到。如果你有一些极点和极线的背景知识，也许这个问题会更好。这个问题可能会作为01左右培训团队的选择题。
从去年和今年的练级题目来看，很多高一的同学要赌一次练级可能并不容易。因为这两个问题难度很大，在不了解一些相关背景知识的情况下，很难想到标准答案中的方法。看来以后对平吉的研究一定不能仅仅局限于平吉的几个著名定理。一些以前被认为很深奥的东西，比如极点和极点线，调和点级数，调和四边形，求逆，势相似，也需要理解，否则平吉可能很难得分。
其实看十几年的二测第一题，已经很难了好几年了。以至于赌平吉的同学经常空手回家。明年是湖北省的命题，湖北省的X教授对几何的研究也很深入，专门教高等几何。我估计明年的平等问题还是挺难的。学生们应该为此做好准备。
接下来看第二个问题。这个数论问题很简单。和去年的数论题相比，这道题的难度完全不是一个级别的。数论学得比较透彻的同学，可能不到十分钟就能完全理解证明的步骤。其实这个问题不需要阶的专业知识，只需要最简单的划分和简单的归纳就可以证明。保守估计，北京至少有一百人完整地完成了这个问题；
第三个问题是代数，一个不等式。这个不等式实际上是一个非常规不等式。因为一般的不等式问题往往会用到均值、柯西等一系列重要的不等式。但这个问题甚至完全可以通过代数恒等式变形得到结果，最多是中间用了一个增函数性质。可以说，一个优秀的初中生，或许就能完成这道题。
这个问题不算太难，但是比第二个问题难，因为前面的同形变形还是蛮有功夫的。其实阅卷答案给出的方法并不是很好，把简单的问题复杂化了。我估计考场上绝大多数考生都不是用标准答案法作答的。
去年的不平等问题可能比今年的稍微简单一些。
从去年和今年不等式问题的形式可以看出，其实柯西、均值不等式、三元旋转对称不等式所解决的问题近年来研究得比较透彻，这方面的新问题要么太简单，要么太难，不能作为竞赛题；所以我预计明年的代数命题很可能不会再考不等式，而是转向解方程，递归级数中的合成问题等。如果要测试不平等，那么很有可能还是这种非主流的不平等。
今年的不等式问题其实和去年西部数学奥林匹克的最后一道题很像。感兴趣的同学不妨自己对比一下。
第四个问题:染色计数。
作为最后一个题目，大家早就习惯了联赛二测的最后一个题目。该省只有十几名学生成功，甚至全军覆没。大结局难度极大，放弃基本成了固定趋势。但今年的大结局显然没有这么难。命题人可能觉得这种计数很难，从标准答案中给出的充满各种复杂符号的令人费解的求解过程就可以看出来。
但如果看问题的本质，可以把它看成一个“二维组合”。如果我们把0和1看作X轴上的0和1，把两种颜色看作Y轴上的0和1，那么我们考虑到这四种组合实际上对应的是坐标平面上的四个点，我们把它们连接起来得到一个正方形，那么实际上我们可以把它们看作一个正方形。这样就可以用递归数列来做，很容易得到三组递归关系，可以算出初始值为27；接下来，求解递归数列的通项是一个很常规的问题。
这种平方方法似乎和01中CMO的“太空城”问题略有相似，但那道题的难度要比这道题高得多:
递归数列通项的求解方法与众所周知的蛙跳问题如出一辙。这个问题可能是中国向国际海事组织提出的第一个问题，似乎是齐先生提出的。
第二次测试总结:
第一个极其困难。北京估计不会超过20人。第二种方式更容易；第三种方式稍微难一点；最后一个是最后三个中最难的，但相对于历年大结局的难度，可能是十几年来最容易的一个。这也直接导致了今年北京入营分数线大幅上升，可能会上升到240多。一等奖第一次试的分数估计是85+ 70，也就是160左右甚至更高，因为第二次试更容易。