奥林匹克数学竞赛试题
第六场:“华金杯”青少年数学邀请赛初赛第12题(略有改动)
1.用一个边长为1 cm的立方体做一个如图11-1的立体图形。这个图形的表面积是多少？
分析与求解显然，图形11-1的向上面和向下面的面积相等，等于3×3=9个小方块的面积，左面和右面的面积等于7个小方块的面积。正面和背面的面积也相等，等于七个小正方形的面积。所以图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小方块的面积，每个小方块的面积为L平方厘米，所以图形的表面积为46平方厘米。
2.如图11-2，有一个边长为5的立方体。如果把一个边长为5、3、2的长方体从左上切掉，它的表面积会减少百分之多少？
原立方体的表面积为5× 5× 6 = 150。
目前三维图形的表面积对着我们割了两条边，它们的面积分别是(3×2)×2=12，12 ÷ 150 = 0.08 = 8%。
也就是表面积减少了8%。
3.如图11-3，将一个长L米的立方体形木块沿水平方向锯成3块，每块锯成4个长条，每块锯成5个小块，* * *得到60个各种大小的长方体。那么，这60个长方体的表面积之和是多少呢？
分析及解决方法我们知道，每切一刀，多出来的表面积正好是原立方体两个面的面积。
现在a * * *切(3-1)+(4-1)+(5-1)= 9刀，而原立方体一个面的面积是1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9。
一个立方体原来的表面积是6×1=6(平方米)，那么现在这些小长方体的表面积之和就是6+18=24(平方米)。
4.在图11-4中，有一个边长为4厘米的立方体。将一个边长为1厘米的立方体，分别挖在正面、背面、左右、上下四边的中央，做成一个玩具。它的表面积是多少平方厘米？
分析分解立方体的表面积为4×4×6=96(平方厘米)。
从每个面上去掉一个边长为1 cm的正方形，同时加入5个边长为1 cm的立方体作为玩具表面积的一部分。一般来说，每个面上加了四个边长为1 cm的正方形。
所以它的表面积是96+4×6=120平方厘米。
5.图11-5是一个边长2厘米的立方体。在立方体中心向下挖一个边长为1 cm的立方体单元格；然后在小洞底部中间向下挖一个边长为cm的小洞；第三个小洞的挖法和前两个一样，边长cm。那么最终三维图形的表面积是多少呢？
分析及解决方法因为每次开挖都是在原有的基础上，缺少1个面，增加了5个面，即增加了4个面。
因此，最终得到的三维图形的表面积为:
2×2×6+1×l×4+×××4+×××4 = 29.25(平方厘米)。
6.有大、中、小三个方形水池，其内侧分别为6米、3米、2米。当两堆砾石浸没在中小水池的水中时，两个水池的水位分别升高6厘米和4米。如果这两堆碎石浸没在大池子的水里，大池子的水位抬高了多少厘米？
分析及解决方法:中间池放置砾石的体积为3× 3× 0.06: 0.54立方米；
放入小水池的砾石体积为2×2×0.04=0.16立方米；
那么两堆碎石的体积之和就是0.54+0.16=0.7立方米。现在如果放入一个底面积为6×6=36平方米的大水池中，大水池的水面会升高0.7÷36= m = cm = cm。
7.如图11-6，将一个长13 cm、宽9 cm的长方形纸板的四个角去掉边长为2米的正方形，然后沿虚线折叠成长方形容器。这个容器的体积是多少立方厘米？
分析分解容器的底面积为(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高度为2厘米，因此容器的体积为:
45×2=90(立方厘米)。
8.有一个长方体，长、宽、高分别为21cm、15cm、12cm。现在从它的顶部切割一个尽可能大的立方体，然后从剩余部分切割一个尽可能大的立方体，最后第二次从剩余部分切割一个尽可能大的立方体。求剩余量。
要分析解决这个问题，首先要确定立方体割三次的边长，因为21:15:12 = 7:5:4。为了描述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7 cm、5 cm、4 cm的长方体。
很容易知道第一次切的立方体边长应该是4 cm，第二次切的立方体边长是3 cm，第三次切的立方体边长是2 cm。
因此，在长、宽、高分别为21cm、15cm、12cm的长方体中，第一次、第二次、第三次切割的立方体的边分别为12cm、9cm、6cm。
所以剩余体积应该是:
21×15×12-()= 1107(立方厘米)。
9.如图11-7，有一个圆柱体和一个圆锥体，它们的高度和底径都标注在图上，单位是厘米。那么，圆锥体的体积与圆柱体的体积之比是多少呢？
分析求解一个圆锥体的体积和一个圆柱体的体积。
因此，圆锥体体积与圆柱体体积之比为。
10.去年，张大爷用一个长2米，宽1米的长方形芦苇席围起了最大的圆柱形粮库。这一年，他用一个长3米、宽2米的长方形芦苇席围起了最大的圆柱形粮库。问:今年的粮库容积比去年多多少倍？
分析求解底面周长为3，半径为0，那么今年粮库的底面积和高度为2。
同样，去年粮库底面积为1。
因此，今年的粮食储存量是去年的4.5倍。
11.盛水的圆柱形容器，内径5 cm，深度20 cm，水深15 cm。现在，一个半径为2厘米，高度为18厘米的铁筒被垂直放置在容器中。此时容器的水深是多少？
分析与求解如果铁制圆柱体能完全浸入水中，水深与体积底面积的乘积应等于原水体积与圆柱体在水中的体积之和，所以水深为:
(cm)；
它比铁筒的高度小，所以铁筒没有完全浸入水中。这时容器和铁筒就形成了一个类似下图的立体图形。
底部面积为，水的体积保持不变。
因此，水深为(厘米)，比容器的高度小20厘米。显然，水不会溢出来。
所以厘米是需要的水深。
12.如图ll-8所示，一个物体由三个圆柱组成，高1 m，底半径分别为1.5 m，1 m，0.5 m。这个物体的表面积是多少？(取3.14)
分析与求解物体的表面积正好等于大圆柱体的表面积加上中小圆柱体的侧面面积，即。
也就是这个物体的表面积是32.97平方米。
13.如图11-9，一名工人用薄木板钉了一个长方形的邮箱，并用尼龙编织带在三个方向加固。所用尼龙编织带的长度分别为365厘米、405厘米和485厘米。如果加固时每条尼龙带的接头重叠5cm，那么这个长方形邮箱的体积是多少？
长方体的分析与求解，高+宽=+(365-5)=180，求解答。
高度+长度= (405-5)=200，(2)。
长度+宽度= (485-5)=240，240
②-①长宽=20，④
④+③代入①，长=130，宽=110，高=70，则长方体体积为:
70×110×30 = 1001000(立方厘米)=1.001(立方米)。
14.有三种不同大小的立方体块，分别是A、B、C，其中A的边长是B的边长，B的边长是C的边长，如果用A、B、C三种块组成一个体积尽可能小的大立方体，每种至少用一块，这三种块至少需要多少块？
分析求解假设A的边长是1，那么B的边长是2，C的边长是3。很明显，大立方体的边长不能是4，否则B和C中有一个放不下。
因此，大立方体的边长至少为5。实际上，A、B、C三种木块可以组合成一个边长为5的大立方体，其中C的木块只能用1块；B型最多用7块木头(使总块数尽可能少)；A级木块的要求是:5× 5× 5-1× 3× 3-7× 2× 2 = 42(块)。
所以至少需要三种木块中的一个***1+7+42=50(块)才能做成一个体积最小的立方体。
15.有六个长方体，边长相同，分别为3 cm、4 cm、5 cm，其中一个绘制面被染成红色，这样有的长方体只有1个面，有的长方体只有2个面，有的长方体只有3个面，有的长方体只有4个面，有的长方体只有5个面，还有一个长方体。立方体被分成边长为1 cm的小立方体。分完之后，刚好有一面是红色的。最多几个？
在分析求解一个一面染红的长方体时，很明显要把一个4×5的长方体染红，然后产生20个一面染红的小立方体，数量最多。
很明显，要把两个4×5的长方体染成红色，然后会产生40个一面染成红色的小立方体，数量最多。
对于一个三面染红的长方体，显然4×5、4×5、4×3的面都要染红，所以4×(5+5+3-4)=36个一面染红的立方体，用其他方法得到的一面染红的立方体不到36个。
对于一个四面染红的长方体，显然要把4×5、4×5、4×3、4×3的面都染红，这样就得到4×(5+5+3+3-2×4)=32个一面染红的立方体，用其他方法可以得到不到32个一面染红的立方体。
五面染红的长方体，只留3×5的一面不被污染，则(3-2)×(5-2)+(4-1)×(5+5+3+2×4)= 27个小立方体一面染红，其他染色方法得到的立方体一面染红。
一个六面染成红色的长方体，产生2×[(3-2)×(5-2)+(5-2)×(4-2)+(4-2)×(3-2)]= 22个一面染成红色的小立方体。
所以最多:22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小立方体。