浅谈初三数学竞赛

解:根据已知方程:

(m？-n？)+(m-n)=-m

(m+n)(m-n)+(m-n)=-m

(m+n+1)(m-n)=-m

(m+n+1)(n-m)=m

由于m和n都是正整数，所以从上面的公式我们知道(n-m)≥1，即n≥m+1，

所以:m =(m+n+1)(n-m)≥m+n+1，

可用:n+1≤0，明显无效；

所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；

2、

解法:同样可以得到:(m+n+1)(n-m)=(k-1)m，................

因为k≥3，我们可以得到:n-m >；0，即:n & gtm，n/m & gt；1,

那么就有:n/m=(m+k)/(n+1)>1,

所以:m+k & gt；n+1，

因此:m

从上面可以看出，从m到m+k有k-1个正整数，

但是当k=3时，那么:m

当n=m+1时，我们得到:2m+2=2m，显然不成立；

当n=m+2时，我们得到:2(2m+3)=2m，显然不成立；

但当k≥4时，m

b(2m+b+1)=(k-1)m

解法:m=(b？+b)/(k-1-2b)，

则k-1-2b≥1，且b≤(k-2)/2，

所以b的取值范围是:1≤b≤(k-2)/2，

如果k=4，则1≤b≤1，则有

当b=1，m=2/(3-2)=2，n=2+1=3时，

因为没有确定的k，所以无法找到这个问题的通解，但是只要k≥4，就一定有正整数m和n，这就使得m(m+k)=n(n+1)成立。