初中数学中的维耶塔定理是什么？

法国数学家韦达首先发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，所以人们把这种关系称为维耶塔定理。历史很有趣。这个定理是大卫在16世纪得出的，这个定理的证明依赖于代数的基本定理，但高斯是在1799年才第一次做出实质性的论证。

从代数学的基本定理可以推出，任何一元n次方程

在一个复杂的集合中必须有一个根。因此，方程的左端可以分解为复数范围内的线性因子的乘积:

其中是方程的根。维耶塔定理是通过比较两端的系数得到的。

维耶塔定理

AX2+BX+C=0

X1和X2是这个等式的两个追随者。

那么x1+x2 =-b/a。

X1*X2=C/A

维耶塔定理的应用技巧

在求解一元二次方程的整数根问题时，如果将维耶塔定理与分解公式αβ(α+β)+1 =(α1)(β1)相结合，求解往往新颖、巧妙、独特。例子如下。

例1给定p+q = 198，求方程x2+px+q = 0的整数根。

(' 94祖冲之杯数学邀请赛)

解法:设方程的两个整数根为x1和x2，设X1 ≤ X2。从维耶塔定理，我们可以得到。

x1+x2=-p，x1x2=q。

所以x 1x 2-(x 1+x2)= p+q = 198，

即x 1x 2-x 1-x2+1 = 199。

∴(x1-1)(x2-1)=199.

请注意，X1-1和X2-1都是整数。

解是x1 = 2，x2 = 200x1=-198，x2=0。

例2已知方程x2-(12-m) x+m-1 = 0的两个根都是正整数，求m的值.

解法:设方程的两个正整数根为x1和x2，设X1 ≤ X2。它是由维耶塔定理得到的。

x1+x2=12-m，x1x2=m-1。

所以x 1x 2+x 1+x2 = 11，

即(x 1+1)(x2+1)= 12。

∵x1和x2为正整数，

解是X1 = 1，X2 = 5；x1=2，x2=3。

所以有m = 6或者7。

例3:求数k使得方程kX2+(k+1) x+(k-1) = 0的根为整数。

解:如果k = 0，x = 1，即k = 0满足要求。

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1和x2，由维耶塔定理得到。

∴x1x2-x1-x2=2，

(x 1-1)(x2-1)= 3。

因为X1-1和X2-1都是整数，所以

例4:已知二次函数y =-x2+px+q的像与X轴相交于(α，0)和(β，0)两点，α > 1 > β。证明:P+q > 1。

(97年四川省初中数学竞赛)

证明:从题意可知，方程-x2+px+q = 0的两个根是α和β，由维耶塔定理得到。

α+β=p，αβ=-q。

所以p+q = α+β-α β，

=-(αβ-α-β+1)+1

=-(α-1)(β-1)+1 > 1(因为α > 1 > β)。