中考几何题

BD=BA，d在以b为圆心，AB为半径的圆上。

使DF垂直于AB，并在f点与AB相交。

1、

∠BAC=90

∠BAC=2∠ACB

所以∠ACB =∠ABC = 45。

等腰直角三角形ABC。斜角BC，直角a。

矩形AEDF

AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD

所以直角三角形FDB，斜边BD，角度FBD = 30度。

所以∠DBC = 45-30 =15度。

∠ABC =45度

关系是∠ABC = 3∠DBC

2、∠BAC！=90

假设∠BAC=60，是一个与C成直角的三角形。

很容易得到角度DBC=30度，也满足关系∠ABC = 3∠DBC。

所以推测这种关系一直都是成立的。我们来证明一下。

缩写:x = ∠ACD，y = ∠DCB，z=∠BAD。

那么x+y =∠ACB；X+z=∠CAB(因为x=∠CAD)

因为x+z = 2(x+y)

所以z = y+y+ x

Z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y(延伸AD，利用外角和关系)

所以∠DBC = y-x

∠ABC = 180-(∠BCA+∠BAC)= 180-3 *(x+y)

来自正弦定理:

BC:BD = sin∠BDC:sin∠DCB = sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y = sin(y-x+y):sin y

BC:AB = sin∠CAB:sin∠ACB = sin(z+x):sin(x+y)= sin(y+y+x+x):sin(x+y)

因为BD=AB

所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)

sin(y-x+y)/sin y = 2 sin(y+x)cos(y+x)/sin(x+y)

2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)

2(cosx * cosy-sinx * siny)siny = sin(2y)cosx-cos(2y)sinx

2 cosxcosysiny-2 sinx * siny * siny = 2 sinycosx-(1-2 sin？y)sinx

2 sinx * siny * siny =(1-2 siny * siny)sinx

(1)当sinx！=0:

2sinysiny = 1-2sinysiny

罪恶？Y=1/4所以siny =正负1/2；Y=30度，150度。

因为3 (x+y) < 180，所以y=30度。

∠DBC = y-x = 30-x

∠ABC = 180-3 *(x+y)180-3x-3 * 30 = 90-3x = 3 *(30-x)= 3∠DBC .

(2)当sinx = 0时，x = 0，180，即ACD在一条直线上，D点不在三角形内。

(即不满足主体条件。其实即使D在AC的中点，两个角度也满足三重关系:此时角度A=60度。)

这样就可以得出上面的结论。