圆锥曲线的求解方法有哪些？
命题趋势分析
从近三年的高考来看，圆锥曲线的定义、方程、性质仍然是高考的重点内容，三年平均20分，约占总分的13.3%。一般通过选择、填空、求解三种不同的曲线进行考查，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的一个重要方面。
例1(2002年江苏卷理科第13题)椭圆的一个焦点是(0，2)，则k _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
本题分析主要考察椭圆的标准方程，先转换成标准形式，再求解。
求解椭圆方程，即由解得k=1。
如果复习的重点在Y轴上，那么它的标准方程应该改成的形式，如果这个问题改成:给定曲线的焦距为4， 那么k _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _就可以了
应该分两种情况讨论:(1)如果是椭圆，那么k = 1；(2)如果是双曲线，方程为
∴，快，快，快。
例2(2006 54 38+0全国卷理科第14号)双曲线的两个焦点是P点在双曲线上，如果是这样，P点到X轴的距离是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
本题分析主要考察双曲线的定义。从“形”的角度来看，只需要斜边上的高度，第一个定义就可以解决。从“数”的角度出发，只需要P点的纵坐标，首先用第二种定义表示，即焦半径公式，由勾股定理得到，然后代入双曲线方程。因为点p在一个直径为的圆上，所以，解决这个问题最基本的方法就是用求交的方法求点p。
解一设定，且点P可根据双曲线的对称性设定在第一象限，则m-n = 2a-6 ①，②，
②-① 2mn=64，mn = 32，其中PQ⊥x轴在q中，则在中间，即p点到x轴的距离为
第二个解是集合，可以从第二个定义得到。
∴ ,
也就是这里a=3 c=5，代入。
从∴的双曲线方程中推导出来
三种解决方案
点p在一个直径为的圆上，即
①、双曲线上的点p、
∴ ②，从①和②中消去，得到∴.
评论(1)根据双曲线的对称性，P点可以设在第一象限，不用考虑所有情况。
(2)解决问题的目标意识很重要。比如第一种解法，只需要整体计算mn的值，不需要求解M和N；方案三，只有需求就够了；
(3)三种方案中，方案3最简单，所以最基本的方法有时也是最有效的。
(4)如果将问题改为:当是钝角时，P点横坐标的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
那么，我们可以先找出起点P的横坐标，从图形直观和双曲线的范围可以得到。2000年高考理科14题考查椭圆中的类似问题。
例3(2000年全国理科卷第11题)抛物线的焦点F是与抛物线相交于两点P和Q的直线，若线段PF和FQ的长度分别为P和Q，则等于()。
A.2a B. C.4a D
本文主要考察抛物线的定义和标准方程，可以用焦半径公式求解。
解抛物方程，也就是记住，那么F(0，m)，直线PQ的方程可以设为x = k (y-m)，代入抛物方程。
,
那好吧
而且，
所以，，
。
因此，。
当k=0时，容易证明的结论也成立，所以选C。
评论(1)因为给定抛物线的焦点在Y轴上，所以它的焦点是焦半径公式为0，但不能写成。(2)解题时，设直线PQ的方程为x = k (y-m)以简化运算。(3)作为选择题，这种解法显然是不经济的，可以直接用上一节例5中的结论3得出结果。所以，记住一些重要的结论，无疑有利于提高解题效率。(4)特例法也是解决选择题的常用方法。这个问题只需要考虑PQ//x轴，也就是路径，马上就能得到结果。
例4(2006 54 38+0全国卷理科第19题)设抛物线的焦点F，过F点的直线与抛物线在A点和B点相交，C点在抛物线与BC//x轴的准线上，证明直线AC过坐标原点o。
分析这道小题主要考察抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。要证明三点* * *线，只需要证明OC和OA的斜率相等，也可以利用抛物线的性质证明AC和X轴的交点N正好是EF的中点，这样N和O重合，得到结论。
解决方案一:很容易知道重点。设直线AB的方程为，代入抛物方程得到。
那好吧
，也就是。
因为BC//x轴，而C在准线1上，所以点，且，因而，因而。
, ,
于是，三点连线A、O、C，即直线AC，经过原点O。
图中显示了第二种解决方案。设准线1与x轴相交于e点，AD⊥1相交于d点，甚至AC与EF相交于n点，定义为AD//EF//BC。
，即(1)
，即②
从抛物线的性质可以知道|AD|=|AF|，|BC|=|BF|可以代入① ②得到|EN|=|NF|，即n是EF的中点，所以n与点O重合，即直线AC过原点O。
评论(1)本例第一种解法利用曲线的方程来研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而第二种解法充分利用了抛物线的几何性质和相似三角形中的相关知识。(2)在第一种解法中，直线AB方程法值得称道。从思维的分析来说，证明了就证明了，代入之后就证明了。所以要通过直线AB方程和抛物线方程同时消去x，得到一个关于y的二次方程，第一次求解中的这种方法既避免了直线方程的变形过程使运算简单，又避免了对AB⊥x轴情况的讨论。(3)考试修订(必修)数学第二册习题8.6第六题是:通过抛物线焦点的直线与它相交于P、Q两点，通过P点和抛物线顶点的直线与M点相交，证明直线MQ平行于抛物线对称轴。可以看出，这道高考题其实是课本习题的逆命题。在平时的学习中，学生有课本的典型例子。
例5(苏卷20，2002)设A和B是双曲线上的两点，点N (1，2)是线段AB的中点。
(1)求直线AB的方程；
(2)若线段AB的中垂线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否* *圆？为什么？
本题分析主要考察直线、圆、双曲线的方程和性质，计算能力和综合运用所学知识解题的能力。求解直线AB的方程，可以建立它的点斜公式，用双曲方程消去，利用维耶塔定理和中点公式求它的斜率。因为涉及到“中点和弦”的问题，所以也可以用“设而不寻”的方法。对于第(2)项，根据图形特征，如果四个点是* * *圆，则CD一定是它的直径，至少有三种解决方法:(1)判断CD中的点与四个点是否等距；(2)判断是否存在交流⊥广告；(3)判断A点和B点是否在一个直径为CD的圆上。
解(1)解1:设AB: Y = K (X-1)+2代入整理。
。①
那好吧
，以及
因为n (1，2)是AB的中点，因此，求解k=1，直线AB的方程为y=x+1。
解2:假设并代入双曲线方程
。
由于n (1，2)是AB的中点，将它们代入上式即可得到，所以直线AB的方程为y=x+1。
(2)将k=1代入方程①得到，，得到解。
从y=x+1可以得到，，即A (-1，0)和B (3，4)，而直CD的方程是y-1 =-(x-2)，即y = 3-x，代入双曲方程可以得到②。
设置，然后，。
解法一:设CD的中点为，则，则，即m (-3，6)。
因为
因此。
和
即A.B.C.D四点与点m的距离相等，这样A、b、c、d四点就是* * *圆。
解决方案2: by，get，，
，所以
，也就是AC⊥AD.
根据对称性，BC⊥BD，所以a、b、c和d是四个* * *圆。
解3:直径为CD的圆的方程为
，即
。
代入、、、成。
，也就是。
因为，
,
所以A和B在直径为CD的圆上，也就是A，B，C，d的四点圆上。
评论(1)在处理直线与圆锥曲线的相交时，要注意维耶塔定理的应用。(2)“设而不求”是解决“中点弦”问题的常用方法。通过“设而不求”，可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系。如果知道中点坐标，就可以确定直线的斜率。(3)判断四点* * *圈有多种方法。注意多角度思考，锻炼思维的灵活性。
典型热点问题
1.探索
例6设它是椭圆的左右焦点，问:椭圆上有没有点P使？为什么？
分析P点满足的条件，探究P点的坐标是否能找到，如果能找到，则存在；如果不是，就不存在。求P点的坐标，有两种思路:
思路一定，就用焦半径公式来表达，推理，探究是否存在。
第二个思路是P点在一个直径为的圆上，只需要考察圆和椭圆之间是否有一个公共点。
思考:画一个比较准确的图形，不难发现圆和椭圆没有共同点，所以这样的点P是不存在的。关键是椭圆太“圆”了，引发我们思考:为了使P点存在，椭圆应该尽可能的平，也就是它的偏心率要大一些，这样就可以思考一个普遍的问题:
概括:如果椭圆上有一点p，就可以求出偏心率e的范围。
例6提供的两种思路都可以得到，从而验证了我们的猜想。
再思考:观察P点从长轴末端沿椭圆运动的过程，从0逐渐增大，再逐渐减小到0。假设最大值必须在某一位置获得。这个最大值是多少？你从哪里得到它的？从椭圆的对称性可以猜测，当P点在短轴端点B时，获得最大值，不是吗？
利用焦半径公式和余弦定理不难验证这个猜想。
如果是的话，我们有。
回过头来看，例6中，，，可以通过代入得到，所以0 ≤ θ≤ 60，可见使得θ= 90°的点P是不存在的。
另一个问题:如果椭圆上有一点P，设(，为长轴的终点)，求偏心率e的范围。
分析的不再是椭圆的焦半径，问题也不再能按照例6中的第一种思路解决，但是我们知道P点是一段两段弧，其轨迹是对称的。我们可以先找出圆弧所在圆的方程，然后按照第二种思路去研究。下面我们给出这个问题的答案。
解决方案取决于对称性，所以让我们说，然后，从到角度公式。
，也就是，
整理一下。①
因此。②
②代入①得到。
因为点p在椭圆上，所以，就是，就是，所以，就是，所以，解是0
点评(1)在解析几何中，直角一般是由垂直条件转化的，而一般的角度往往是由角度公式转化的。如果要用余弦定理，就无法将运算进行到底。(2)注意利用椭圆的值域建立A、B、C之间的不等式关系，从而求出E的值域..
2.申请。
示例7隧道的横截面由抛物线和矩形的三条边组成。尺寸如图所示。一辆卡车在卡车和集装箱之间运载一个宽3m、高4m的集装箱。卡车能通过隧道吗？为什么？
分析这个题目抛物线在实际问题中的应用，可以利用抛物线的方程和性质来研究。
该解法以抛物线弧的顶点为原点，建立图形直角坐标系。设抛物线方程为。从图形中可以看出，点(3，-3)在抛物线上，所以2p=3，即抛物线的方程为。
根据抛物线的对称性，为了使汽车尽可能地通过隧道，汽车要沿着隧道中心线行驶，所以集装箱两侧的隧道高度为。
因为车和箱子只有4米高，也就是h & gt4，所以这辆车可以通过这个隧道。
评论(1)实际问题要转化为数学问题，这里通过建立坐标系转化为解析几何中的问题。(2)系统建立得当，方程尽量规范，分析问题时考虑图形的对称性。