浅谈高中必修一的关键函数题

函数是每年高考的热点，抽象函数性质的应用是函数的难点之一。抽象函数是指在没有给出具体解析函数或图像的情况下，函数满足的一部分性质或算法。这类函数试题既能全面考察学生对函数概念的理解和代数推理论证能力，又能全面考察学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的理解。因此受到命题者的青睐，在近几年的高考题中不断出现。但由于这类问题的抽象性和本质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时都感到很无奈。下面举例讨论这类问题的解决策略。

例:设y=f(x)是定义在区间[-1，1]内的函数，满足以下条件:

(I)f(-1)= f(1)= 0；

(ii)对任意u，v ∈ [-1，1]，有-f (u)-f (v)-≤-u-v-。

(I)证明对于任意x ∈ [-1，1]，存在x-1≤f(x)≤1-x；

(二)证明对于任意u，v ∈ [-1，1]，存在-f (u)-f (v)-≤ 1。

解决问题:

(一)证明:由题目条件可知，当x ∈ [-1，1]时，有f(x)= f(x)-f(1)≤-x-1-= 65438+。

(二)证明对于任意u，v ∈ [-1，1]，当-u-v-≤ 1时，有-f (u)-f (v)-≤ 1。

当-u-v->；1，u v & lt0，你不妨设u；1，其中v ∈ (0，1)，u ∈ [-1，0)。

为了使已知条件起作用，必须在[-1，0]上取一点与U相匹配才能利用已知条件，结合f (-1) = f (1) = 0，这个点可以选作-1。类似地，应取(0，1)上的点1与V匹配，以利用已知条件。所以，-f(u)-f(v)-≤-f(u)-f(-1)-+-f(v)-f(1)-≤-u+1-+-v-65438。1

综上所述，任何u，v ∈ [-1，1]都有-f (u)-f (v)-≤ 1。

点评:关于抽象函数的问题，往往给出函数满足的等式或不等式。因此，在解决相关问题时，首先要对待证明或待解公式进行结构上的改变，使待证明或待解问题的结构与已知问题的结构相同。比如本题中没有给出函数y=f(x)的解析表达式，而是给出了一组具体的对应关系f(-1)=f(1)=0，给出了两个变量之差的绝对值不小于对应函数值之差的绝对值的一般关系。在(1)的证明中，f(x)重写为-f(x)-=-f(x)-f(1)-；在(2)的证明中，f (-1) = f (1) = 0，且-f (u)-f (v)-f (u)-≤-f (-。

另外，抽象函数问题中给出的函数性质，对于定义域中的所有实数往往都成立。所以根据题意，将一般问题特殊化，选取合适的特殊值(如x=1，Y = 0等)是非常重要的策略之一。).

总之，抽象函数问题一般很难用常规方法解决，但如果能通过对题目的信息分析和研究，用特殊的方法和手段解决，往往会事半功倍，同时在运用这些策略时要密切配合，优势互补。