初一奥林匹克数学题库(附答案)

初一奥赛自测题

自测题1

甲方花费100元，三年后为负。

负债600元。人均年收入是多少？

s的后四位数之和是多少？

4.一个人以3 km/h的速度上坡，以6 km/h的速度下坡，行程12 km * * *试求上坡和下坡的距离需要3小时20分钟。

总结

6.证明素数p除以30得到的余数一定不是合数。

8.若两个整数x和y使x2+xy+y2能被9整除，则证明x和y能被3整除。

9.如图1-95所示。在四边形ABCD中，对角线AC和BD的中点为m，n，MN的延长线与AB边相交于p点，证明△PCD的面积等于四边形ABCD面积的一半。

自测2

1.给定3x2-x=1，求6x3+7x2-5x+2000的值。

2.一家店一天卖100件一件商品，每件可以盈利4元。现在他们通过提高售价和减少购买量来增加利润。根据经验，这种商品每涨价1元，每天就会少卖10件。每件可以提多少才能获得最大利润？最大利润是多少？

3.如图1-96，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠ 1+∠ 2 = 90。验证:

DA⊥AB.

4.已知方程

的解决方法应该是

一个学生在解题时把C抄错了，所以解法是

求A2+B2+C2的值。

5.求方程| xy |-| 2x |+y | = 4的整数解。

6.王平买了年利率为7.11%的三年期国库券和年利率为7.86% * * 3.5万元的五年期国库券。如果三年期国库券到期，他将把本金和利息存入两个连续的一年期定期存款。五年后，与五年期国库券的本息合计为477，665，438+0元。他让王平购买三年期国库券。(已知一年期定期存款年利率为5.22%)

7.对于k和m的什么值，方程？

至少有一套解决方案？

8.求不定方程3x+4y+13z = 57的整数解。

9.小王用5元钱买了40个水果招待5个朋友。水果分苹果、梨、杏三种，每种分别20分、8分、3分。小王希望他和他的五个朋友能得到苹果，每个人得到的苹果数量不同。他能实现愿望吗？

自测题3

1.解关于x的方程。

2.解方程

其中a+b+c ≠ 0。

3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2展开式中系数的和。

4.倒出8升液体农药并注满水，然后倒出4升混合溶液并注满水。此时农药浓度为72%。求桶的容量。

5.有多少个自然数x***满足[-1.77x]=-2x？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3] = 3。

6.设P是△ABC中的一个点。求从P到△ABC的距离范围和与三角形周长的比值。

7.甲乙双方同时从东、西站相向而行。相遇时，甲方比乙方多行驶24公里，甲方到达东站需要9小时，乙方到达西站需要16小时，求两站距离。

8.黑板上写着三个数字。随意擦掉其中一个，重写为另外两个数之和减1。这样继续下去，最后得到19，1997，1999。原来的三个数可以是2，2，2吗？

9.有n个实数x1，x2，…，xn，每个实数不是+1就是-1，并且

证明:n是4的倍数。

自测题4

1.已知A、B、C、D都是正数，而

a+d

验证:AC+BD < AB。

2.已知甲商品原价为65438+乙商品原价的0.5倍。由于市场变化，B商品涨价的百分比是A商品降价的两倍。调价后，A、B商品单价之和比原单价之和高2%。求B商品涨价的百分比。

3.在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数。求三角形的三个内角。

4.在一个工厂的三年计划中，年产量增加相同的数量。如果第三年比原计划生产65，438+0，000台，则每年增加的百分比与前一年相同，第三年的产量正好是原三年总产量的一半。按原计划每年生产多少台？

z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|，

求z的最大值和最小值。

8.1到500有多少个自然数出现在1或5中？

9.有多少种方法可以从19，20，21，…，98这80个数中选择两个不同的数使它们的和为偶数？

自测五

1.一个任务超过每天2件可以提前3天完成，超过每天4件可以提前5天完成。尽量弄清楚工作的件数，以及按原计划完成需要的时间。

2.两列的数量是已知的

2,5,8,11,14,17,…,2+(200-1)×3,

5,9,13,17,21,25,…,5+(200-1)×4,

他们都有200个项目。这两列中有多少项目的编号相同？

3.求x3-3px+2q能被x2+2ax+a2整除的条件。

4.证明不等式

5.如果两个三角形有相等的角，证明这两个三角形的面积比等于夹着这个角的两边的乘积之比。

6.已知(x-1)2除以多项式x4+ax3-3x2+bx+3的余数为x+1。试着找出a和b的值.

7.有一条线段的长度分别为1，2，3，…，9。有多少种不同的方法可以用来选择几条线，使它们可以形成一个正方形？

8.平面上有10条直线，其中四条相互平行。问:这10条直线最多能把平面分成多少部分？

9.边长为整数，周长为15的三角形有多少个？

自测题1

所以x=5000元。

所以S的后四位数之和是1+9+9+5 = 24。

3.因为

A-b≥0，即A ≥ B .即当B ≥ A > 0或B ≤ A < 0时，方程成立。

有

从②有2x+y=20，③

从①有y = 12-X，代入③。

2x+12-x=20。

所以x=8(公里)，所以y=4(公里)。

5.第N项是

因此

6.设p = 30Q+R，0 ≤ R < 30。因为P是素数，r≠0，也就是0 < R < 30。假设R是一个合数，因为R < 30，所以R的最小素数只能是2，3，5。那么，从P = 30Q+R，当

7.建立

公式①的(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q)。

已知m < 4。从①，m > 0，而且是整数，所以m=1，2，3。让我们分别研究P，Q。

(1)如果m=1，则有

解为p=1，q=1，与已知不一致，弃用。

(2)如果m=2，则有

因为2p-1=2q或者2q-1=2p是不可能的，所以m=2时无解。

(3)如果m=3，则有

获得解决方案

所以p+q = 8。

9.连接AN，CN，如图1-103。因为n是BD的中点，所以

以上两个公式相加。

另一方面，

S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP。

所以证明给我看。

S△AND=S△CNP+S△DNP。

因为m和n分别是AC和BD的中点，

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP。

而S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP+S△DNP = S△ANP+S△BNP = S△ANB = S△AND。

自测2

1.原公式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000。

=2x×1+3×1-2x+2000

=2003.

2.原来每天可以盈利4×100元。如果每件商品的价格提高X元，每件商品的利润是(4+X)元，但每天卖出的是(100-10x)件。如果日利润设为Y元，那么

y =(4+x)(100-10x)

=400+100x-40x-10x2

=-10(x2-6x+9)+90+400

=-10(x-3)2+490。

所以当x=3时，Y =490元的最大值，也就是3元，增加了每一项的价格，每天收益最多，490元。

3.因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠ 1+∠ 2 = 90(图1-104)，所以

∠ADC+∠BCD=180，

所以公元前。

因为AB⊥BC，

到①，②

AB⊥AD.

4.根据问题的意思，有

所以A2+B2+C2 = 34。

5.| x ||| y |-2 | x |+| y | = 4，即

|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2，

因此

(|x|+1)(|y|-2)=2。

因为| x |+1 > 0，而且x和y都是整数，所以

所以有

6.假设王平分别以X元和Y元购买三年期和五年期国债，那么

因为y=35000-x，

因此

x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2

+(35000-x)(1+0.0786×5)= 47761，

因此

1.3433 x+48755-1.393 x = 47761，

所以0.0497x=994，

所以x=20000(元)，

Y=35000-20000=15000(元)。

7.因为

(k-1)x=m-4，①

当m都是实数时，方程组有唯一解。当k=1，m=4时，①的解都是实数，所以方程组有无穷多个解。

当k=1，m≠4时，①无解。

因此，当k≠1，m为任意实数，或者k=1，m=4时，方程组至少有一组解。

8.从问题集方程中

z=3m-y。

x=19-y-4(3m-y)-m

=19+3y-13m。

原始方程的一般解是

其中n和m取任意整数值。

9.假设苹果、梨、杏分别被X、Y、Z买走，那么

消去y得到12x-5z = 180。它的解决方案是

x=90-5t，z=180-12t。

代入原始方程得到y =-230+17t。因此，

x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t。

x=20，y=8，z=12。

所以小王的愿望无法实现，因为按照他的要求，至少要有1+2+3+4+5+6 = 21 > 20个苹果。

自测题3

1.简化了的

6(a-1)x=3-6b+4ab，

当a≠1时，

2.将原始方程转化为

由此可以得出

x=a+b+c。

3.当x=1时，

(8-6+4-7)3(2-1)2=1.

也就是说，展开式中的系数之和是1。

根据问题的意思

去掉分母，简化。

7x2-300x+800=0，

即(7x-20)(x-40)=0，

5.如果n是整数，则有[n+x] = n+[x]，所以

[-1.77x]=[-2x+0.23x]

=-2x+[0.23x]。

已知[-1.77x]=-2x，所以

-2x=-2x+[0.23x]，

所以[0.23 x] = 0。

又因为X是自然数，所以0 ≤ 0.23x < 1。通过实验可知，X可以是1，2，3，4，***4。

6.如图1-105所示。在△ △PBC，有

延长BP到AC到d .郑怡

PB+PC

到①，②

以同样的方式；以类似的方式

③+④+⑤的

a b+ BC+CA < 2(PA+p b+ PC)< 2(a b+ BC+CA)。

因此

7.若甲方行走速度为X km/h，乙方行走速度为Y km/h，则距离为(9x+16y) km。

从(1)中获取

16y2=9x2，③

从②得到16y = 24+9x，代入③。

即(24+9x) 2 = (12x) 2。

获得解决方案

因此

所以两站之间的距离是

9× 8+16× 6 = 168(公里)。

8.答案是否定的。对于2，2，2，它首先变成2，2，3，其中有两个偶数和一个奇数。以后不管改多少次，永远是两个偶数一个奇数(数值可以改，但奇偶性不变)，所以不可能改成19，1997，65447。

。

因为

所以k是偶数，所以n是4的倍数。

自测题4

1.从对称性出发，我们不妨设b≤a，那么

ac+bd≤ac+ad=a(c+d)

2.如果B商品的原单价是X元，A商品的原单价就是1.5x元。如果A商品的价格降低y%，B商品的价格增加2 y%。

1.5x(1-y %)+x(1+2y %)=(1.5x+x)(1+2%)，

简化

1.5-1.5y+1+2y = 2.5×1.02。

所以y = 0.1 = 10%，

因此，商品A的价格减少10%，商品B的价格增加20%。

3.因为∠A+∠B+∠C = 180，所以∠A，∠B和∠C中一定有偶数，唯一的偶数质数是2，所以

∠C=2。

因此

∠A+∠B=178。

因为∠A和∠B是奇素数，这样的解不是唯一的，比如

4.如果年产量增加D千台，这三年每年的计划千台数是a-d，A，A+D。

获得解决方案

所以年产量分别是4000台，6000台，8000台。

不平等群体:

所以x > 2；

没有解决办法。

6.设原来的公式是S，那么

因此

和

<0.112-0.001=0.111.

因为

因此

=0.105

正是你想要的。

7.从| x | ≤ 1，| y | ≤ 1。

-1≤x≤1，-1≤y≤1。

因此

y+1≥0，

x-2y+4 ≥- 1-2×1+4 = 1 > 0。

因此

z=|x+y|+(y+1)+(x-2y+4)

=|x+y|+x-y+5。

(1)x+y+≤0时，

z=-(x+y)+x-y+5=5-2y。

从-1≤y≤1可以推导出3≤5-2y≤7，所以此时Z的最小值为3，最大值为7。

(2)当x+y > 0，

z=(x+y)+(x-y+5)=2x+5。

从-1≤x≤1和3≤2x+5≤7，Z的最小值为3，最大值为7。

根据(1)和(2)，Z的最小值为3，最大值为7。

8.百位中有100，101，…，199 * * 100；第十位的数字是1或5(不是第一百位的1)。

2×3×10=60(件)。

单位中有1或5(在百位和十位中不是1或5)。

2×3×8=48(件)。

加上数字500，所以满足题意的数字就是* * *。

100+60+48+1=209(件)。

9.从19到98***，共有80个不同的整数，其中奇数40个，偶数40个。第一个数字有80种选择方式。如果第一个数是偶数，第二个数只能从其他39个偶数中选择，有39种方式。同样，如果第一个数字是奇数，第二个数字有39种方式。

选种方法。

自测五

1.如果每天计划完成X件，计划完成时间为Y天，则总件数为xy件。

获得解决方案

总数

Xy=8×15=120(个)，

即计划15天完成，工作件数为120。

2.第一列号第n项表示为2+(n-1) × 3，第二列号第m项表示为5+(m-1) × 4。

2+(n-1)×3 = 5+(m-1)×4。

因此

因为1≤n≤200，所以

所以m=1，4，7，10，…，148 * * 50。

x3-3px+2q除以x2+2ax+a2的余数为

3(a2-p)x+2(q+a3)，

因此，所需的条件应该是

4.命令

因为

因此

5.如图1-106(a)和(b)所示。在△ ABC和△FDE，

∠A =∠ D .现在把△ DEF移到△ ABC，使△A和△D重合，DE=AE '，DF=AF '，链接F' B .此时△AE'F '的面积等于三角形DEF的面积。

①× ②获取

6.我们把商设为x2+α。X+β。以已知的方式

x4+ax3-3x2+bx+3

=(x-1)2(x2+α？x+β)+(x+1)

=(x2-2x+1)(x2+α？x+β)+x+1

=x4+(α-2)x3+(1-2α+β)x2

+(1+α-2β)x+β+1。

比较等号两端同一项的系数，应该有

解决就好

所以a=1，b=0就是你想要的。

7.因为

所以正方形的边长≤ 11。

以下按正方形边长分类列举:

(1)边长为11:

9+2=8+3=7+4=6+5,

有1种选择方法。

(2)边长为10:

9+1=8+2=7+3=6+4,

有1种选择方法。

(3)边长为9:

9=8+1=7+2=6+3=5+4,

有五种方式可以选择。

(4)边长为8:

8=7+1=6+2=5+3,

有1种选择方法。

(5)边长为7:

7=6+1=5+2=4+3,

有1种选择方法。

(6)边长≤6时，不能选择。

总而言之，* * *已经

1+1+5+1+1=9

种子选择方法形成一个正方形。

8.看六条不平行的直线，最多把平面分成。

2+2+3+4+5+6 = 22部分。

现在添加平行线。加上第1条平行线，最多和前面的六条直线有六个交点。分为七段，每段又把原来的部分一分为二，所以增加了七段。第2、3、4条平行线相加也是如此，即每条平行线最多加7段。所以这些直线最多把平面分成。

22+7×4=50

一部分。

9.假设三角形的三条边A、B、C满足a ≥ B ≥ C，由B+C > A可得，A+B+C = 15，a≥b≥c，15 = A+(B+C) > 2A，所以A ≤ 7。当a=b，b+c = 9时。那么b=6，c=3，或者b=5，c = 4；当a=7，b+c=8，那么b=7，c=1，或者b=6，c=2，或者b=5，c=3，或者b=4，c = 4。

所以有七个三角形满足题意。