发现几个有趣的关于高中课程中直线和圆的方程的数学题

定理内容:圆O上的弦PQ的中点M，交点M定义为两条弦AB和CD，弦AD和BC分别在X和Y上与PQ相交，则M为XY的中点。

证明过圆心的O是AD和BC之间的垂线，垂足是S和T，连接OX，OY，OM，SM和MT。

∫△AMD∽△CMB

∴AM/CM=AD/BC

∫SD = 1/2AD，BT=1/2BC

∴AM/CM=AS/CT

∠∠A =∠C

∴△AMS∽△CMT

∴∠MSX=∠MTY

∠∠OMX =∠OSX = 90度

∴∠OMX+∠OSX=180

∴O，s，x，m四点* * *圆

同样，O，T，Y，M是四点* * *圆。

∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX

∴∠MOX=∠MOY，

∵OM⊥PQ

∴XM=YM

这个定理在椭圆中也成立，如图所示。

1，椭圆的长轴A1和A2平行于X轴，短轴B1B2在Y轴上，圆心为M(o，r)(b >；r & gt0)。(一)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标和偏心率。

(ii)直线y=k1x与椭圆相交于两点C(x1，y1)，D(x2，Y2)(Y2 >；0);直线y=k2x与椭圆相交于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4 >；0)。验证:k 1x 1x 2/(x 1+x2)= k2x3x 4/(x3+x4)

(ⅲ)对于(ⅱ)中的C、D、G、H，设CH在P点与X轴相交，GD在Q点与X轴相交..证明:| OP | = | OQ |。

(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情况。)北京教育考试院招生考试办公室专家在《2003年全国普通高等学校招生统一考试答案征集》中给出的参考答案如下:

(18)本题主要考察直线和椭圆的基础知识，考察分析问题和解决问题的能力。15的满分。(一)解:椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1，焦点坐标为

(二)证明直线CD的方程y=k？将x代入椭圆方程得到b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2。

整理，(B2+a2k 12)x2-2k 12Rx+(a2r 2-a2 B2)= 0。

根据维耶塔定理，你必须

x 1+x2 = 2k 1a2r/(B2+a2k 12)，x 1 x2 =(a2r 2-a2 B2)/(B2+a2k 12)，

所以x 1x 2/(x 1+x2)=(R2-B2)/2k 1r①。

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同样可以得到。

x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②

k 1x 1x 2/(x 1+x2)=(R2-B2/2r = k2x3x 4/(x3+x4)从①和②。

所以结论成立。

(三)证明:设定点P(p，o)和点Q(q，o)。

从c、p、H * * * *的线条来看，(x 1-p)/(x4-p)= k 1x 1/k2 x4。

解是p =(k 1-k2)x 1x 4/(k 1x 1-k2 x4)。

通过D、Q、G***线，同样可以得出。

q =(k 1-k2)x2x 3/(k 1x 2-k2x 3)

从k 1x 1x 2/(x 1+x2)= k2x 3 x4/(x3+x4)，转化为x2x 3/(k 1x 2-k2x 3)= x 1x 4/(k 1x 68)。

即:(k 1-K2)x2x 3/(k 1x 2-k2x 3)=(k 1-K2)x 1x 4/(k 1x 1-K2 x4)。

所以|p|=|q|，也就是|OP|=|OQ|。