初二数学因式分解练习题

证明1:原公式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1。

=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25

=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立。

证明二:原公式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1。

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1

设a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2。

原公式=a(a+2)+1=(a+1)2。

即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 =(x2+5x+5)2。

证明三:原公式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1。

制造

原公式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1。

=(m-1)(m+1)+1 = m2 =(x2+5x+5)2

2.1因式分解因子

教学目的和要求:经历从因式分解到因式分解的类比过程；理解因式分解的意义及其与代数表达式乘法的关系；知觉因式分解在解决相关问题中的作用。

教学重点和难点:

重点:因式分解可以简化运算，研究整数的性质，因式分解可以类比引入。

难点:每一步变形的基础

快速响应:

1.根据因式分解的概念，判断下列方程哪个是因式分解，哪个不是，为什么。

(1)6abxy=2ab？3xy

(2)

(3)(2x-1)？2=4x-2

(4)4 x2-4x+1 = 4x(x-1)+1。

填空

(1)(2m+n)(2m-n)=4m2-n2这种运算属于。

(2)x2-2x+1=(x-1)2这种运算属于。

(3)用完全平模49x2+y2+ =( -y)2。

自主学习:

Can 1。993-99能被100整除吗？你怎么想呢?与同行交流。

小时是这样算的吗？

993-99

=99×992-99×1

=99(992-1)

=99×9800

=98×99×100

所以993-99可以被100整除。

(1)小明如何判断993-99是否能被100整除？

(2)还有哪些正整数可以除以993-99？

答案:(1)小明用因式分解法除以993-99，得出993-99是100的倍数，所以993-99可以被100整除。

(2)也可以被98、99、49、11等正整数整除。

2.计算以下类别:

(1)(m+4)(m-4)=；

(2)(y-3)2 =；

(3)3x(x-1)=；

(4)m(a+b+c)=。

根据上面的公式填空:

(1)3x2-3x=()()

(2)m2-16=()()

(3)ma+mb+mc=()()

(4)y2-6y+9=()()

请问，你认为以上两组练习有什么关系？

回答:第一组:

(1)m2-16；(2)y2-6y+9；(3)3 x2-3x；(4)ma+m b+ MC；

第二组:

(1)3x(x-1)；(2)(m+4)(m-4)；(3)m(a+b+c)；(4)(y-3)2 .

第一组是多项式乘以多项式的结果，第二组是把多项式写成几个立体形式的乘积的形式，恰好是一种倒易关系。

3.下列类别中等号从左到右的变形被分解为()

A.(x+3)(x-3)= x2-9b . x2+x-5 =(x-2)(x+3)+1

C.a2b+ab2=ab(a+b) D。

答案:c

4.证明:如果一个三位数的百位数和一个个位数交换，新数和原数的差可以被99整除。

证明了如果原百位数是X，十位数是Y，单位位数是Z，那么原位数可以表示为100x+10y+z，交换位置后的位数是100Z+10y+X..

然后:(100 Z+10Y+X)-(100 X+10Y+Z)

=100 z-100x+x-z

=100(z-x)-(z-x)

=99(z-x)

那么原来的结论是成立的。

5.如图3-1①从边长为A的正方形中挖出一个边长为B (A > B)的小正方形，剩余部分剪切拼接成长方形(如图②)。教育部门用两个图形(阴影部分)的面积来验证一个方程，这个方程是()。

A.(a+2b)(a-b)= a2+a b-2 B2 b .(a+b)2 = a2+2ab+B2

C.(a-b)2 = a2-2ab+B2 d . a2-B2 =(a+b)(a-b)

答案:d。

2.2公因子法

教学目的和要求:经历探索多项式公因式的过程，确定具体问题中多项式的公因式；会用公因子法分解多项式(多项式中的字母索引限于正整数)；进一步理解因式分解的意义，加强学生的直觉思维，渗透化归的思维方法。

教学重点和难点:

重点:让学生理解提出公因子的意义和原则。

难点:多项式项的公因式可以确定。

关键是让学生明白提出公因子的意义和原理。

快速响应:

1的公因数。2m2x+4mx2 _ _ _ _ _ _ _ _。

2.A2B+AB2+A3B3的公因数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

3.5m (a-b)+10n (b-a) _ _ _ _ _ _ _的公因数。

4.-5xy-15 XYZ-20x2y =-5xy(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)。

自主学习:

1.张老师将为在太空建模竞赛中获胜的学生颁奖。他来到文具店，决定以16元的单价买10支钢笔，5元买10个笔记本，4元买10瓶墨水。因为有很多东西要买，商品销售员决定打九折出售，并询问价格。

在这个问题上，两位同学给出了自己的方法。

方法一:16×10×90%+5×10×90%+4×10×90% = 144+45+36 = 225(元)。

方法二:16×10×90%+5×10×90%+4×10×90% = 10×90%(16+5+4)。

请问:两位同学的计算方法哪个更好？为什么？

回答:第二个同学(第二种方法)比较好，因为第二种方法把因子10×90%放在括号外，只计算一次，明显减少了计算量。

2.(1)多项式ab+bc的所有项都包含同一个因子吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb怎么样？

(2)把上面的多项式写成几个因子的乘积，说明你的理由，和同行交流。

答案:(1)多项式ab+bc的所有项包含同一个因子B，多项式3x2+x的所有项包含同一个公因子X，多项式mb2+nb的所有项包含同一个公因子B。

3.分解以下类别:

3x+6；7x 2-21x；8a3b 2-12ab 3c+ABC；a(x-3)+2b(x-3)；5(x-y)3+10(y-x)2 .

答案:(1)3x+6 = 3x+3 x2 = 3(x+2)(2)7x 2-21x = 7x？x-7x？3=7x(x-3)

(3)8a3b2-12ab3c+abc=ab？8a2b-ab？12b2c+ab？c=ab(8a2b-12b2c+c)

(4)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)

(5)5(x-y)3+10(y-x)2 = 5(x-y)3+10[-(x-y)]2 = 5(x-y)3+10(x-y)2 = 5(x-y)2(x-y+2)

4.分解以下因素:

(1)3 x2-6xy+x(2)-4 m3+16 m2-26m

答案:(1)3 x2-6xy+x = x(3x-6y+1)(2)-4 m3+16 m2-25m =-2m(2 m2-8m+13)。

5.把因式分解因子

回答:=

6.分解以下类别:

(1)4q(1-p)3+2(p-1)2

(2) 3m(x-y)-n(y-x)

(3)m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)

答案:(1)4q(1-p)3+2(p-1)2 = 2(1-p)2(2q-2pq+1)。

(2)3m(x-y)-n(y-x)=(x-y)(3m+n)

(3)m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)= 2am(x+y)

计算

(1)给定A+B = 13，AB = 40，求a2b+ab2的值；

(2) 1998+19982-19992

答案:(1)a2b+ab2=ab(a+b)，当a+b=13时，原公式=40×13=520。

(2)1998+19982-19992=-1999

8.比较2002×20032003和2003×20022002的尺寸。

答案:让2002 = X。

∫2002×20032003-2003×20022002 = x？10001(x+1)-(x+1)？10001 x=0

∴2002×20032003=2003×20022002

2.3使用公式法

教学目的和要求:通过代数表达式乘法的平方差公式和完全平方公式的过程，得出公式法因式分解的方法，从而发展学生的逆向思维和推理能力；用公式法(直接用公式不超过两次)分解因子(指标为正整数)

教学重点和难点:

重点:培养学生的逆向思维和推理能力。

难点:能理解和总结因式分解变形的特点，同时能充分感受到倒数变形的过程和数学知识的完整性。

快速响应:

1.分解因子:1 x2-y2 =；x2-4 =；②a2 B2-2ab+1 =；= ;

2.下列多项式中，可以用平方差公式分解的因子是()。

a . 16 a2-25 B3 b .-16 a2-25 B2 c . 16 a2+25 B2 d .(16 a2-25 B2)

3.下列几种不能被完全平方公式分解的是()

a . x2+y2+2xy b .-x2+y2+2xy c .-x2-y2-2xy d .-x2-y2+2xy

4.分解以下因素:

(1)9a2m 2-16 B2 N2；(2) ;(3)9(a+b)2-12(a+b)+4 (4)

自主学习:

1.(1)观察多项式x2-25.9x-y2。他们的特色是什么？

(2)把它们写成两个因素的产物，说明你的理由，与同行交流。

答案:(1)多项式的每一项都可以写成正方形。比如在x2-25中，x2本身是正方形的形式，25=52也是正方形的形式；9x-y2也是如此。

(2)反乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2说明X2-25 = X2-52 = (X+5)，9X2-Y2 = (3x) 2-Y2 = (3x+y) (3x-y)。

2.把乘法方法

(a+b) 2 = A2+2ab+B2，(a-b) 2 = A2-2ab+B2，反之，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2。

以上变化过程是因式分解因素吗？陈述你的理由。

答案:A2 2AB+B2 = (A B) 2是因式分解因子。因为(a+b)2是因子的乘积，(a-b)2也是因子的乘积。

3.分解以下因素:

(1)25-16 x2；(2)(3)9(m+n)2-(m-n)2；(4)2x 3-8x；

(5)x2+14x+49；(6)(m+m)2-6(m+n)+9(7)3 ax2+6 axy+3 ay2；(8)-x2-4y2+4xy

回答:

(1)25-16 x2 =(5+4x)(5-4x)(2)= 1

(3)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)

(4)2x 3-8x = 2x(x2-4)= 2x(x2-2x)= 2x(x+2)(x-2)

(5)x2+14x+49 = x2+2×7x+72 =(x+7)2

(6)(m+m)2-6(m+n)+9 =[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2

(7)3 ax2+6 axy+3 ay2 = 3a(x2+2xy+y2)= 3a(x+y)2

(8)-x2-4y2+4xy=-(x-2y)2

4.分解以下因素:

(1) ;(2)(a+b)2-1；(3)-(x+2)2+16(x-1)2；

(4)

回答:(1)；(2)(a+b)2-1 =(a+b+1)(a+b-1)

(3)-(x+2)2+16(x-1)2 = 3(x-2)(5x-2)；

(4)

5.分解以下因素:

(1)m2-12m+36；(2)8a-4a 2-4；

(3) ;(4) 。

答案:(1)m2-12m+36 =(m-6)2；(2)8a-4a 2-4 =-4(a-1)2；

(3) ;

(4)

6.证明(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是完全平坦的路。

证明1:原公式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1。

=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25

=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立。

证明二:原公式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1。

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1

设a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2。

原公式=a(a+2)+1=(a+1)2。

即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 =(x2+5x+5)2。

证明三:原公式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1。

制造

原公式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1。

=(m-1)(m+1)+1 = m2 =(x2+5x+5)2

7.已知A、B、C是△ABC的三条边，判断△ABC的形状是否a2+b2+c2-ab-bc-ca=0。

答案:∫a2+B2+C2-a b-BC-ca = 0。

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0

即A2-2ab+B2+B2-2bc+C2+A2-2ac+C2 = 0。

∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0

∫(a-b)2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0

∴a-b=0,b-c=0,a-c=0

∴a=b,b=c,a=c

这个三角形是等边三角形。

8.设x+2z=3y，试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是否为定值。

答:当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为固定值0。

9.因式分解:

10.分解因子: