科学数学中导数的一道压轴题(详见)

x & gt0

(1)c=0 f(x)=lnx轻松拥有1个零x=1。

(2)c & gt；0

f '(x)= 1/x -2cx=(1-2cx^2)/x

f’(x)>0 1 & gt；2cx^2 x & lt；根号(1/2c)

f '(x)& lt；0 1 & lt；2cx^2 x & gt；根号(1/2c)

F' (x) = 0 1 = 2cx 2x =根号(1/2c)

在(0，1/2c)处，f (x)单调增加...f(根号1/2c))是最大值。

f(根号1/2c))=ln(根号(1/2c))-1/2 =(1/2)(ln(1/2c)-1)

当ln (1/2c) < 1，1/2c & lt；e，c & gt1/2e，f(x)没有零点。

当ln (1/2c) = 1，1/2c = E，C = 1/2e时，F (x)有1个零。

当ln (1/2c) >: 1，1/2c >时；e，0 & ltc & lt1/2e f(x)>0

然后证明f (x)有负值(学会求极限后不需要下面的方法)，也可以直接构造一个x使得f(x)

在(0，1)的区间内，f (x) < 0，有1个零。

这里可以利用不等式，构造X，直接求极限。

不平等

x & gt根号1/2c，不等式lnx-CX 2

(建筑根号1/2c >；根号e f (1) =-c

(3)

c & lt0 f'(x)>0函数单调递增

f(1)=-c & gt；0

1.构建x

0 & lte^c<；1

f(e^c)=c-c(e^c)^2=c(1-(e^c)^2)<；0

所以有一个零点。

二

0 & ltc & lt1/2e

让x 1 & gt；x2

ln(x1x2)=c(x1^2+x2^2)

ln(x1/x2)=c(x1-x2)

(x1x2)=e^(c(x1^2+x2^2))>；1

ln(x1/x2)/ln(x1x2)=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)

假设x1x2

ln(x 1/x2)& lt；=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)

设t = x 1/x2 t & gt；1

lnt & gt(t^2-1)/(t^2+1)

设g(t)= lnt-(T2-1)/(T2+1)

g'(t)=(t^2-1)^2/t>；0克(吨)在增加...

g(1)=0 g(t)>0

与假设相矛盾

所以x 1x 2 >；e德正