两角和差三角函数的推导

指高中数学三角函数部分的一组恒等式。

sinα+sinβ= 2 sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2 sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]注意右边公式前的负号。

以上四组公式均可由积和差公式导出。

方法1 sinα+sinβ= 2 sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]的证明过程。

因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

将上述两个公式的左右两边分别相加得到

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设α+β = θ，α-β = φ。

因此

α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

代入α和β的值得到结果。

sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

方法2

根据欧拉公式，e IX = cosx+isinx。

设x=a+b

E I(A+B)= E IA * E IB =(COSA+ISINA)(COSB+ISINB)= COSA COSB-SINA SINB+I(SINA COSB = SINB COSA)= COS(A+B)+ISIN(A+B)。

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb。

sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa

切线的和差积

Tan α tan β = sin (α β)/(cos α cos β)(有证明)

coαcotβ= sin(βα)/(sinαsinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα sinβ)

证明了左侧= tan α tan β = sin α/cos α sin β/cos β。

=(sinα cosβ cosα sinβ)/(cosα cosβ)

= sin (α β)/(cos α cos β) =右侧

等式成立

需要注意的事项

在和差积的应用中，必须是同名的三角函数才能实现。如果是高阶函数，就必须用降幂公式降一次。

简洁的记忆公式

正面加正面，正面向前，多加多，多并排。

正减正，大于前，大于负，负正弦

反之亦然。生动的公式:(和与差)

帅+帅=帅哥

帅-帅=帅。

兄弟+兄弟=兄弟

哥哥-哥哥=消极的嫂子

反之亦然