改编高等代数考研真题

设方程:x 4+x 3+x 2+x+1 = 0有x1，x 2，x 3，x 4的解。

等式两边乘以(xi-1)(i=1，2，3，4)得到:

xi^5-1=0=>；xi^5=1(i=1,2,3,4)

又因为1 *(x 4+x 3+x 2+x 1)|[F0(x 5)+xf 1(x 10)+x 2 F2(x 65438

所以Xi 5 *(Xi 4+Xi 3+Xi 2+Xi+1)|[F0(Xi 5)+xif 1(Xi 10)+Xi 2 F2(Xi 15)

而Xi 5 * (Xi 4+Xi 3+Xi 2+Xi+1) = 0，

因此:

f0(xi^5)+xif1(xi^10)+xi^2f2(xi^15)+xi^3f3(xi^20)+xi^4f4(xi^25)

=f0(1)+xif1(1)+xi^2f2(1)+xi^3f3(1)+xi^4f4(1)=0

= & gt由此得到方程。

f0(1)+x1f1(1)+x1^2f2(1)+x1^3f3(1)+x1^4f4(1)=0

f0(1)+x2f1(1)+x2^2f2(1)+x2^3f3(1)+x2^4f4(1)=0

f0(1)+x3f1(1)+x3^2f2(1)+x3^3f3(1)+x3^4f4(1)=0

f0(1)+x4f1(1)+x4^2f2(1)+x4^3f3(1)+x4^4f4(1)=0

将f0(1)移到等式的右边，

将F1 (1)、F2 (1)、F3 (1)、F4 (1)视为未知数，将f0(1)视为常数项，得到非齐次线性方程组。

系数矩阵是满秩的类范德蒙矩阵A，增广矩阵A1的秩与A相同。

线性方程组的判别定理有唯一解。

这个唯一的解可以通过克莱姆法则找到，

形式为:fi(1)= TIF 0(1)(I = 1，2，3，4；ti≠0)

根据方程式的形式:

f0(1)+xif1(1)+xi^2f2(1)+xi^3f3(1)+xi^4f4(1)=f0(1)(1+t1xi+t2xi^2+t3xi^3+t4xi^4)=tf0(1)=0

因为1，x，x 2，x 3，x 4是P[5]的一组基，所以它们的线性无关；

又因为1，t1，t2，t3，t4不全为零，所以t≠0。

所以F0(1)= 0 = & gt；fi(1)= TIF 0(1)= 0 = & gt；fj(1)=0(1=1，2，3，4；j=0，1，2，3，4)

因此:(1-x) | fi (x) (I = 0，1，2，3，4)

完成证书