数学:平面几何解题
四个重要定理:
梅涅劳斯定理(梅氏线)
△若△ABC或其延长线的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则直线P、Q、R***的充要条件如下。
Ceva定理(Ceva点)
△ABC的BC，CA，AB三边上有P，Q，R点，那么AP，BQ，CR***点的充要条件如下。
托勒密定理
四边形两对边的乘积之和等于其对角乘积的充要条件是该四边形内接于一个圆。
西姆森定理(西姆森线)
从一点画到三角形三边的垂线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
示例:
1.设AD为△ABC边BC的中心线，直线CF在f处与AD相交，证明:。
CEF截面△ABD→(迈耶定理)的分析
解说词还可以加上辅助线，证明A、B、D中的一条是CF的平行线。
2.过△ABC重心G的直线分别与E中的AB，AC，F，D中的CB相交。
证明:。
分析链接，将AG和BC的交集延伸到m，那么m就是BC的中点。
DEG截面△ABM→(迈耶定理)
DGF截面△ACM→(迈耶定理)
∴===1
评迈耶定理
3.d、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上。
，AD，BE和CF交叉成△LMN。
找到LMN。
分析
评迈耶定理
4.以△ABC的各边为底，向外作相似的等腰△BCE、△CAF和△ABG。证明:AE，BF，CG相交于一点。
分析
对塞瓦定理的评论
5.已知△ABC中∠B=2∠C。验证:AC2 = AB2+公元前AB。
分析出以A为BC的平行线相交△ABC，外接圆为D，连接BD。那么CD=DA=AB，AC=BD。
根据托勒密定理，AC BD = AD BC+CD AB。
评托勒密定理
6.正七边形A1A2A3A4A5A6A7已知。
证明:。(第21届全苏数学竞赛)
分析
评托勒密定理
7.△ ABC的BC侧高AD的延长线外切p，PE⊥AB在e，ED的延长线在f..
验证:BC ef = BF ce+be cf。
分析
对西姆森定理(西姆森线)的评论
8.正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别由内点M和N，以及B，M和N***的直线划分为AM: AC = CN: Ce = K。求K. (23-IMO-5)
分析
评论区方法
9.O是△ABC内的一点，O到BC、CA、AB的距离分别用da、db、dc表示，O到A、B、C的距离用Ra、Rb、Rc表示。
验证:(1)A Ra≥B d b+ C DC；
(2)a Ra≥c d b+ b DC；
(3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc).
分析
评论区方法
在10。△ ABC、H、G、O分别是垂直中心、重心和外中心。
验证:H，G，O三点* * *线，HG=2GO。(欧拉线)
分析
对同一法律进行评论
在11。△ ABC，AB=AC，AD⊥BC等于d，BM，BN ∠ABC，与AD相交于m和n，延长CM与AB相交于e
验证:MB//NE。
分析
评论对称变换
12.g是△ABC的重心。以AG为弦，BG与G相切，CG的交点延长到D..验证:AG2 = GC GD。
分析
评论翻译转换
13.c是直径AB=2的⊙O以上的点，P在△ABC内。如果PA+PB+PC的最小值为，求此时△ABC的面积s。
分析
注释旋转变换
费马点:O是△ABC内的点，∠AOB =∠BOC =∠COA = 120；p是△ABC中的任意一点。证明:PA+PB+PC≥OA+OB+OC。(O是费马点)
分析将cc '，OO '，PP '，链接OO '，PP '。那么△B OO’和△B PP’就是正三角形。
∴OO'=OB,PP' =PB .显然△bo ' c '≔△BOC，△BP ' c '≔△BPC。
因为∠bo ' c ' =∠BOC = 120 = 180-∠bo ' o，∴A，o，o '，c '四点* *线。
∴ AP+PP'+p' c' ≥ AC' = ao+oo'+o' c '，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
14.(全国赛' 95)菱形ABCD的内切圆O分别在E、F、G、H处与各边相交，弧EF和弧GH上⊙O的切线分别在M、N、P、Q处与AB、BC、CD、DA相交。
验证:MQ//NP。
来自AB‖CD的分析:要证明MQ‖NP，只需要证明∠AMQ=∠CPN
结合∠A=∠C，你只需要证明。
△AMQ∽△CPN
←，AM CN=AQ CP .
连接AC和BD，交点为内切圆圆心O，设MN和⊙O在k处截，连接OE，OM，OK，on和OF。记住∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，那么
∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180 -2φ.
∴∠BON=90 -∠NOF-∠COF=90 -β-φ=α
∴∠cno=∠nbo+∠nob=φ+α=∠aoe+∠moe=∠aom
而∠ocn =∠毛，，所以，
∴AM CN=AO公司
同理，AQ CP = ao公司
给…作注解
15.(全国赛' 96) ⊙O1和⊙O2都与δABC的三条边上的直线相切，以e、f、g、h为切点，EG、FH的延长线与p相交.证明:PA⊥BC.
分析
给…作注解
16.(99国赛)如图，四边形ABCD中，对角线AC平分线∠BAD。在CD上取一点e，BE和AC相交于f，将DF延伸到BC于g验证:≈GAC =≈EAC。
证明:将BD与AC与h联系起来，利用针对△BCD的Seva定理，我们可以得到
因为AH是∠BAD的角平分线，所以从角平分线定理，
因此，可用。
AB穿过C的平行线在I处与AG的延长线相交，AD穿过C的平行线在j处与AE的延长线相交。
然后，
因此，CI=CJ。
又因为CI//AB，CJ//AD，∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。
因此，△ACI≔△ACJ，从而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。
已知AB=AD，BC=DC，AC和BD相交于O，任意两条穿过O的直线EF和GH与四边形ABCD的四条边相交于E，F，G和H。加入GF和EH，分别向m和n支付BD。验证:OM =开。(第五届CMO)
证明:如果△ E'H' △ E' OH '，只需要证明E '，M，H' * * *，也就是E'H，BO，GF的点。
记住∠BOG=α，∠GOE'=β。把e' f连到BO连到k，只要证明=1(Ceva逆定理)就行了。
===1
注:郑形:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。
对应99联赛中的2: ∠ e 'ob = ∠ FOB，e 'h，GF，BO三条线为* * *。证明:∠ gob = ∠ h 'ob。
其实以上条件都是充要条件，当m在OB延长线上时结论仍然成立。
证明方法:同样的方法。
蝴蝶定理:P是⊙O的弦AB的中点，通过点P引入⊙O的两个弦CD和EF，连接M中的DE和AB，n中的CF和AB .证明:MP=NP。
设GH是p的直径，FF'F，显然'∑⊙o . p∈GH，∴PF'=PF.∵PFPF',PAPB,∴∠FPN=∠F'PM,PF=PF'。
和FF'⊥GH，AN⊥GH，∴ff ' ab。∴∠F'PM+∠MDF'=∠FPN+∠EDF'
= ∠ eff'+∠ EDF' = 180，∴P，m，d，f '四点* * *圆。∴∠PF'M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF'M,PN=PM。
评注的一般结论是:给定半径为R的a ⊙O中的弦AB上的一点P，两条相交的弦CD和EF穿过P，甚至CF和ED在M和N处与AB相交，给定OP=r，P到AB中点的距离为a，则。(解析证明:利用圆锥系统的知识)