解析几何的目的~用点差法求解:2020年数学数学全国卷第20题
已知它们是椭圆的左右顶点，即的上顶点。是直线上的动点，和的另一个交点是，和的另一个交点是。
(1);
(2)证明:一条直线通过一个定点。
回答问题1
先回答基础问题1。
根据问题的意思，这三个点的坐标是:
的方程式是:
第二个问题的分析
高考数学解题有两条基本路线(方向):一是贴近一些基本模型(题)；其次，从基本思路和方法上进行分析。
我们用路线2来解决这个问题，以“自问自答”的方式展示分析过程。
:这个问题中的对象是什么？对象之间的关系是什么？
在这个问题中，基本对象是椭圆、直线和椭圆弦。是直线上的一个动点；而是椭圆上的一个固定点。
如何证明一条直线通过一个定点？
如果一个不动点的坐标总是满足一个直线族(移动直线的集合)的方程，那么这个不动点总是在这些变化的直线上；然后一条直线穿过这个固定点。
如果方程可以写成:，固定点在轴上，坐标为。
如果方程可以写成:，固定点在轴上，坐标为。
相对来说，大多数人对第一种形式比较熟悉；第二种形式有点陌生。提议者有时会就这一点写文章。
从几何分析中可以得出什么结论？你能猜出固定点的大概位置吗？
从对称性的角度考虑问题。轴是椭圆和直线的对称轴。因此，对于直线上的任意一点，其关于轴的对称点也在这条直线上。
沿着思路往下走:如果我们把它改成，那么直线也会被改变。注意sum是关于两条轴对称的直线，它们的公共点一定在轴上。
所以这个问题中的不动点一定在轴上。这是一个重要的阶段性结论。可以帮助我们简化后面的计算。
从代数分析中可以得出什么结论？哪些量是已知的？什么数量是未知的？什么量是变化的？变化之间有什么关系？
本题已知椭圆的方程(1题的结论)；点是已知的固定点；它是一个移动的点；
直线是已知的固定直线；它是一条移动的直线。
注意:这些点都在椭圆上。所以，在这个问题中，你可以找出许多省略号的字符串:
椭圆的弦是高中解析几何的重要研究对象。它具有以下属性:
椭圆的弦的性质:椭圆的弦的斜率与其中点的坐标之间有一个简明的关系。对于以原点为对称中心的椭圆，可表示如下:或:
在上式中，是弦的中点；代表原点。
这个性质不是定理，但可以用平方差法(也叫点差法)快速推导出来，可以称之为普遍结论。在高考中，这个常见的结论多次出现。合理猜测:这个属性也能起到解决眼前问题的作用。
以上关系对本题出现的很多字符串都成立。
由于(即)它是椭圆弦，根据它的斜率可以找到弦的中点。
同样，根据一条直线的斜率，可以求出一个点的坐标。
注意:都是椭圆上的点，有很多弦经过这四个点。这些弦的中点坐标是相关的。
是椭圆的长轴，该点为原点。其他中点可以这样命名:中点为，中点为，中点为；几个中点的坐标具有以下关系:
因此，如果你有两个点的坐标，你可以很容易地找到这两个点的坐标。
如果计算出点的坐标，就可以求出一条直线的斜率，写出这条直线的点斜方程。
如果求解直线的方程，就可以计算出通过的定点的坐标，从而完成证明。
那么，直线的斜率是多少呢？答案是:取决于动点的坐标。这个坐标相对简单，只有一个变量，可以设置为
借用函数和映射的符号，上述关系可以概括如下:
问题解决计划
理清以上关系后，解决这个问题的路径(具体步骤)就清晰了:
1)引入参数表示动点的坐标；
2)求直线的斜率；
3)找到中点的坐标；
4)计算中点的坐标；
5)计算直线的斜率；
6)写出直线的点斜方程；
7)计算定点坐标；
回答第二个问题
因为椭圆的方程是:，如果点在椭圆上，
然后:
如果设定点的坐标为:，则直线的斜率为:
1)当，点分别与点重合，直线与轴重合。
2)何时:
两条直线的方程式是:
中点是，中点是，中点是；有:
两个中点的坐标可以通过代入线性方程得到:
由于中点是原点，而中点分别是:因此:
同样地:
等式是:
该等式可以简化为:
综上所述，是的，直线必须经过一个定点。证明结束了。
显微操作指南
作为高考压轴题，命题人除了考察大的思路外，还会布置一些小的关卡和障碍，考验考生的综合实力。
这个问题的特点是点的坐标比较复杂，会让一些人望而生畏，止步于此。
对于这个层面，可以用以下思路来破解。
点斜方程的标准形式如下:
在前面的分析中，我们已经得出结论，不动点在轴上，它的坐标形式是
因此，我们采用点斜方程的下列变型:
代入前面的计算结果可以得到如下结果:
上述推导过程具有一定的复杂性。成功完成类似任务的关键在于:经过初步分析，我们已经知道不动点在轴上，所以我们相信看起来很复杂的分母和复杂分子可以化简为简单的形式。
这种“方向感”需要在平时培养。如果缺乏方向感，一味强调熟练，很难完成任务。
提炼和改进
2017全国卷理科数学第20题也是“定点问题”，但两题的解法不同。请注意对比。