数学问题高中

上海实验学校东校王跃荣

我们把一个函数的自变量的允许范围称为这个函数的定义域。那么如何找到一个函数的定义域呢？

1.当解析式为代数表达式时，x取任意实数。

例1求以下函数的定义域:(1)y=-5x2，(2) y=3x+5，

解法:(1)x都是实数；(2)x都是实数。

2.当解析式是分数时，x是分母不为零的实数。

例2。求下列函数的定义域(1)y= (2) y=

解:(1)∵x-1≠0 ∴函数的定义域是x≠1的实数。

(2)函数÷1+3x≠0∴的定义域是x≠-的实数。,

3.当解析式为偶数根时，X为根号非负的实数。

例3。找出下列函数的定义域

(1)y=，(2)y=，(3)y=

解:(1)∵3- x≥0，∴x≤3.

(2)∫2x+4≥0 ∴x≥-2

⑶,∴x≥-4

4.当解析式为复合表达式时，先将不等式逐一列出，找出各部分的允许范围，再找出其公共部分。

例4。找出下列函数的定义域

(1)y= (2)y= (3)y= (4)y=

解:(1)∵ ∴ ∴，x≠4。

(2)∵1-5x & gt；0∴x & lt；。

⑶∴x>；2和x≠3。

(4) ∵

5.解析式涉及具体应用问题时，要看具体应用问题。

如果用函数来反映实际问题，自变量的值除了表示函数的数字子外，还必须使实际问题有意义。

例5。小明拿了10元买铅笔，每支铅笔的价格是0.38元。小明* * *买了X，剩下的钱是Y，求Y关于X的分辨函数，指出X的范围。

解:根据题意，Y关于X的分辨函数为:Y = 10-0.38 X。

当y=0时，即10-0.38x=0，∴ x=26.3。

铅笔的可数性

∴x的取值范围是:0

注:如何求X的最大值？当10元花在铅笔上，也就是剩余的钱为零的时候，X就是最大值。而且考虑到铅笔的可数性，x应该是整数。

例6。给定等腰三角形的周长为17cm，其底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是什么？并指出函数的定义域。

解:由题意:y+2x=17。

∴y=17-2x

∵y & gt；0，即17-2x & gt；0 ∴x<；8.5

三角形两边之和大于第三边。

∴x+x>；y，y=17-2x。

∴2x>；17-2x，x & gt4.25

∴x的数值范围是4.25厘米

总结:当基数为y，腰长为x时，x的定义域为:周长

关于函数值域几种解法的评述

安徽丽青社

函数是中学数学中重要的基本概念之一，它与代数、方程、不等式、三角函数、微积分等密切相关，应用广泛。函数基础强，概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性是难点之一，是高考常见题型。下面是函数范围的解，例如如下。

一、观察方法

通过观察函数的定义域和性质，结合函数的解析式，得出函数的值域。

例1求函数y = 3+√ (2-3x)的值域。

搂抱:根据算术平方根的性质，先找到√ (2-3x)的范围。

解:从算术平方根的性质我们知道√ (2-3x) ≥ 0，

因此，3+√ (2-3x) ≥ 3。

∴函数的定义域是。

点评:算术平方根有双重非负性，即:(1)平方根的非负性，(2)值的非负性。

直接观察算术平方根的性质就解决了这个问题。这种方法对于求一类函数的值域简单明了，是一种巧妙的方法。

练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:范围是:{0，1，2，3，4，5})

二。反函数方法

当函数的反函数存在时，其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

搂抱:先求原函数的反函数，再求其定义域。

解:显然，函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x = (1-2y)/(y-1)，其定义域为y≠1的实数，所以函数y的值域为。

点评:用反函数法求原函数的定义域，前提是原函数有反函数。这种方法体现了逆向思维的思想，是解决数学问题的重要方法之一。

练习:求函数y =(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(回答:函数的范围是{y ∣ y

3.匹配方法

当给定函数是二次函数或可以化为二次函数的复合函数时，可以利用匹配法求出函数的值域。

例3:求函数y = √ (-x2+x+2)的值域。

指点:将根号公式化为完全平方数，利用二次函数的最大值求。

解:从-x2+x+2 ≥ 0可以知道函数的定义域是x ∈ [-1，2]。此时-x2+x+2 =-(x-1/2) 2+9/4 ∈ [0，9/4]。

∴ 0 ≤√-x2+x+2 ≤ 3/2，函数的取值范围为[0，3/2]。

点评:求函数的值域，不仅要注意对应关系的应用，还要特别注意定义域对值域的制约作用。匹配法是数学中一种重要的思维方法。

练习:求函数y = 2x-5+√ 15-4x的值域。(答案:范围是{y∣y≤3})

四。判别方法

如果能转化为关于一个变量的二次方程的分式函数或无理数函数，就可以用判别式法求出函数的值域。

例4求函数y = (2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

指点:将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式确定原函数的取值范围。

解决方法:把上面的公式改成(y-2) x2-(y-2) x+(y-3) = 0 (*)。

当y≠2时，由δ = (y-2) 2-4 (y-2) x+(y-3) ≥ 0，解为:2 < x ≤ 10/3。

当y=2时，方程(*)无解。∴函数的范围是2 < y ≤ 10/3。

点评:把函数关系变成一个二次方程F(x，y)=0。因为方程有实数解，所以它的判别式是非负的，可以求出函数的值域。经常适应y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)和Y = AX+B √ (CX2+DX+E)的函数。

练习:求函数y = 1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:范围是y ≤-8或者y & gt0)。

动词 （verb的缩写）最大值法

对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，可以求出y=f(x)在区间[a，b]上的极值，并与边界值f(a)进行比较。f(b)，可以求出函数的最大值，可以求出函数y的值域。

例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0，满足x+y=1。求函数z=xy+3x的值域。

指点:根据已知条件求自变量X的取值范围，消去目标函数和公式，求函数的取值范围。

解:∫3 x2+x+1 > 0。上面的分式不等式和不等式2x2-x-3≤0有相同的解，解为-1 ≤ x ≤ 3/2，且x+y=1，y=1。

∴z=-(x-2)2+4和x∈[-1，3/2]，函数z在区间[-1，3/2]内连续，我们只需要比较边界的大小。

当x=-1时，z =-5；当x=3/2时，z=15/4。

函数z的值域为{z ∣-5 ≤ z ≤ 15/4}。

点评:此题是将函数的值域问题转化为函数的最大值问题。如果区间有最大值，也可以通过求最大值得到函数的值域。

练习:如果√x是实数，函数y=x2+3x-5的值域是()。

A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)

(答案:d)。

不及物动词镜像法

通过观察函数的图像，将数字和形状结合起来得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2.的值域

指点:根据绝对值的意义，去掉符号，转换成分段函数，使其形象化。

解:原函数为-2x+1 (x ≤ 1)。

y = 3(-1 & lt；x≤2)

2x-1(x & gt；2)

它的形象如图。

显然，函数值y≥3，所以函数值域[3，+∞]。

点评:分段函数要注意函数的端点。使用函数的图像

求函数的值域体现了数形结合的思想。是解决问题的重要途径。

求函数值域的方法很多，也适合通过不等式法、函数单调性、换元法等方法求函数值域。

七。单调方法

通过在给定区间内单调增加或减少函数来评估评估域。

例1求函数y = 4x-√ 1-3x (x ≤ 1/3)的值域。

搂抱:已知函数为复合函数，即g (x) =-√ 1-3x，y = f (x)+g (x)，其定义域为x≤1/3。在这个区间内，分别讨论函数的增加和减少，从而确定函数的取值范围。

解法:设f (x) = 4x，g (x) =-√ 1-3x，(x ≤ 1/3)，我们很容易知道它们在定义域上是增函数，所以y = f (x)+g (x) = 4x-√ 1。

当定义域x≤1/3，y≤f(1/3)+g(1/3)= 4/3时也是增函数，所以函数值域为{y | y ≤ 4/3}。

点评:利用单调性求函数的值域，就是求函数的给定区间或函数的隐含区间。结合函数的增减，可以求出函数在区间末端的值，进而确定函数的取值范围。

练习:求函数y = 3+√ 4-x的值域(答案:{y | y ≥ 3})

八。替代方法

用新变量替换函数公式中的一些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，然后求出取值范围。

例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

搂抱:原函数通过代换转化为变量的二次函数，利用二次函数的最大值确定原函数的取值范围。

解法:设t=√2x+1 (t≥0)，则

x=1/2(t2-1).

所以y = 1/2(T2-1)-3+T = 1/2(T+1)2-4≥1/2-4 =-7/2。

所以原函数的取值范围是{y | y ≥-7/2}。

点评:将无理函数或二次函数转化为二次函数，通过求二次函数的最大值来确定原函数的值域。这种解题方法体现了换元法和归纳法的思维方法。它被广泛使用。

练习:求函数y =√x-1–x的值域(答案:{y | y ≤-3/4}

九。建设性方法

根据函数的结构特点，给出几何图形，给出数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

指点:将原函数变形构造一个平面图形，用几何知识确定函数的范围。

解法:原函数的变换为f(x)= √( x+2)2+1+√( 2-x)2+22。

做一个长4宽3的长方形ABCD，剪成12个单位。

正方形。设HK=x，那么ek=2-x，KF=2+x，AK=√(2-x)2+22

KC=√(x+2)2+1 .

根据三角形三边关系，AK+KC≥AC=5。当a，k和c是三个点时* * *

画线的时候要带等号。

∴原函数的定义域是{y | y ≥ 5}。

点评:对于函数y = √ x2+a √ (c-x) 2+b (a、b、c均为正数)，通过构造几何图形，可以做到直观、清晰、方便、简单。这就是数形结合的体现。

练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y | y ≥ 5 √ 2})

X.比例法

对于一类带条件的函数的值域的求解，可将条件转化为比例表达式，代入目标函数，进而求得原函数的值域。

例4:给定x，y∈R，3x-4y-5=0，求函数z=x2+y2的值域。

搂抱:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例公式，设置参数，代入原函数。

解:由3x-4y-5=0，和(x3)/4 = (y-1)/3 = k(其中k为参数)转换而来。

∴x=3+4k,y=1+3k，

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k =-3/5，x = 3/5，y =-4/5时，zmin=1。

函数的取值范围是{z | z ≥ 1}。

点评:这个问题是一个多功能关系，一般包含约束。通过设置参数，可以将原函数转化为单一函数。这种解题方法体现了许多思维方法，具有一定的创新意识。

练习:给定x，y∈R，满足4x-y=0，求函数f (x，y) = 2x2-y的值域(答案:{f (x，y) | f (x，y) ≥ 1})

XI。多项式除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

搂抱:通过长除法将原分数函数转化为一个代数式和一个分数的和。

解:y =(3x+2)/(x+1)= 3-1/(x+1)。

∫1/(x+1)≠0，所以y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的所有实数。

备注:该方法可用于y=(ax+b)/(cx+d)形式的函数。

练习:求函数y =(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)

十二。不等式方法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

搂抱:先求原函数的反函数，根据自变量的值域构造不等式。

解法:很容易发现原函数的反函数是y=log3[x/(1-x)]。

根据对数函数的定义，x/(1-x) > 0。

1-x≠0

0 < x

函数的范围(0，1)。

点评:考察函数自变量的取值范围，构造不等式(组)或重要不等式，求函数定义域，然后求定义域。不等式方法是解决问题的重要工具，应用非常广泛。它是解决数学问题的方法之一。

以下为练习用:求以下函数的值域。

1.y = √( 15-4x)+2x-5；({y|y≤3})

2.Y=2x/(2x-1).(y & gt1或y