线面角和二面角的求解技巧【二面角问题求解策略】
关键词:二面角；平面角；定义方法；垂直面法；三垂线法；面积投影法；法向量法
二面角是立体几何中的重要内容，是高考的重点，也是学生学习的难点。因此，笔者结合部分高考题，分析总结出解决此类问题的方法。
解决二面角问题的方法概括起来就是“找”、“作”、“作”。
“找”——看给定的立体几何中是否存在二面角的平面角。
“找”的依据是二面角的主要特征――顶点在边上，角所在的平面垂直于边。
例1 (Beijing，2008)如图1所示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ ACB = 90，AP=BP=AB，PC⊥AC.
(1)验证:PC⊥ab；
(2)求二面角b-ap-c的大小；
(3)求C点到平面APB的距离。
图1
解析(1)如图2，取AB的中点D，连接PD和CD。
因为AP=BP，PD⊥AB.
因为AC=BC，CD⊥AB.
因为PD∩CD=D，
所以AB⊥刨PCD。
因为PC？平面PCD，所以PC⊥AB.
图2
(2)因为AC=BC，AP=BP，PC=PC，
所以△APC≔△BPC。
和PC⊥AC，所以PC⊥BC.
而∠ ACB = 90，即AC⊥BC，而AC∩PC=C，所以BC⊥平面PAC。
图3
如图3所示，取AP的中点e，连接BE，CE，
因为AB=BP，BE⊥AP.
因为EC是BE在plane pac平面上的投影
所以∠BEC是二面角B-AP-C的平面角
在△BCE中，∠ BCE = 90，BC=2，BE=AB=，所以sin∠BEC==。所以二面角B-AP-C是反正弦。
(3)省略。
“作”——作立体几何中关于二面角的平面角。
“工作”一般有以下三种方法:
1.定义方法
定义是指二面角边上的任意一点是两个半平面中垂直于该边的直线，两条直线所成的角就是二面角的平面角。适用于具有一定对称性的问题。
例2(2008年湘语)如图4所示，四角锥P-ABCD的底ABCD是一个边长为1的菱形，∠ BCD = 60，e是CD的中点，PA⊥底ABCD，PA=。
(1)证明:平面PBE⊥平面pab；
(2)求二面角a-be-p .
解析(1)如图5，连接BD可知ABCD为菱形且∠ BCD = 60，△BCD为等边三角形。因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD.和AB∑CD，
所以BE⊥AB.
图5
又因为PA⊥垫底ABCD，是吗？平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A，所以BE⊥平面PAB。
又是？飞机PBE，
所以飞机PBE⊥飞机帕布。
(2)根据(1)，BE⊥平面PAB，PB？帕布飞机，所以PB⊥BE.
和AB⊥BE，所以∠PBA是二面角a-be-p的平面角
在Rt△PAB中，tan∠PBA==，所以∠ PBA = 60。
因此，二面角A-Be-P为60°。
2.垂直面法
垂直面法是指用一个垂直于边缘的平面割出二面角，然后割出二面角的两个平面必有两条交线，这两条交线所成的角就是二面角的平面角，然后计算出平面角的方法。
例3(2008年全国I)如图6所示，四角锥A-BCDE中，底BCDE为长方形，边ABC⊥底BCDE，BC=2，CD=，AB=AC。
图6
(1)证明:公元⊥ce；
(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C-AD-E .
(1)的分析。
因为ABC⊥面对的是BCDE和BE⊥BC，所以BE⊥面对的是ABC。所以ABC⊥面对安倍。如图7所示，让CM⊥AB在m中并连接EM，然后CM⊥面对ABE。
所以∠CEM = 45°且CE=，所以CM=CE=，sin∠CBA=，∠ CBA = 60。所以△ABC是等边三角形。
图7
让CH⊥AD在h，连接呃，
因为AD⊥CE，CH⊥AD，
所以面对车。
所以AD⊥EH.还有CD⊥AC，
所以AD=，
CH=2×=，
DH=×=，
EH=。
cos∠CHE==-。
所以二面角c-ad-e是arccos -。
3.三垂线法
三垂线法是指二面角的一个半平面中的一点P垂直于另一个半平面(一般方法是利用曲面垂直性的性质定理)，垂足为O，则垂足为O1，则∠OO1P为二面角的平面角(钝角二面角为其余角)。
例4(天津，2008)如图8所示，四角锥P-ABCD中，底部ABCD为矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，PAB = 60。
(1)证明:AD⊥平面pab；
(2)求PC与AD的交角；
(3)求二面角p-bd-a的大小.
(1)(2)的分析。
图9
(3)如图9，交点p是h点的PH⊥AB，交点h是e点的HE⊥BD，连接PE。因为AD⊥飞机PAB，
PH？平面PAB，
所以阿德·⊥博士
并且AD∩AB=A，
因此，PH⊥平面ABCD。
所以他是PE在ABCD平面上的投影。
根据三垂直定理，BD⊥PE，
所以∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.
从题目中可以看出，
PH=PA？sin60 =，
AH=PA？cos60 =1，
BH=AB-AH=2，
BD==，
他=？BH==。
所以在Rt△PHE，
谭∠PEH==。
所以二面角P-BD-A是反正切。
“构建”——构建“投影”或“向量”来求解。
1.面积投影法
所谓面积投影法，就是根据三角形与其在某一平面上投影面积的关系，利用cosθ=计算二面角(其中θ为二面角)的方法。
利用这种方法，可以有效地解决二面角没有棱的问题和二面角的平面角虽然有棱但难以表示的问题。
例5(天津，2008)与例4相同，这里只解释问题(3)。
分析(3)交点p是h点的PH⊥AB，
通过点h作为点e的HE⊥BD，连接PE。
因为AD⊥飞机PAB，
PH？平面PAB，
所以阿德·⊥博士
并且AD∩AB=A，
因此，PH⊥平面ABCD。
所以他是PE在ABCD平面上的投影。根据三条垂直线的定理，BD⊥PE.
所以∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.
图10
根据题目，PH=PA？sin60 =，AH=PA？cos60 =1，BH=AB-AH=2，
BD==，
他=？BH==。
所以PE==，
S△PBD=BD？PE=。
而AH=1，BH=2，AD=2，
所以s △ HBD = s △阿卜德-s △ AHD = (6-2) = 2。
所以cos θ = = =，即二面角P-BD-A为arccos。
上述方法虽然成功解决了一些没有边的问题，但也受到一定条件的限制，即题目中必须有一个三角形是另一个三角形在某个平面上的投影。如果这个条件不存在，我们就不得不考虑使用另一种方法，即法向量法。
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法向量法是通过求垂直于二面角的两个向量所形成的角，然后利用这个角与二面角的相等或互补关系来求二面角的方法。用法向量求二面角时，两平面的法向量与二面角所成的角是否相等或互补，成为一个难点和重点。这里作者依靠二元线性规划判断平面面积的方法，使用类比法。
用法向量求二面角时，平面两等分的法向量与二面角的夹角只有两种情况，以下四种情况应按其法向量分类:
如上四图所示，设二面角α-L-β为θ，a和b分别为α和β的任意法向量，夹角为< a，b >。分别在图12和13中，θ = < a，b >，在图11中。作者用类比联想来检验是否能找到一个特殊的向量，发现如下结论:
设A∈α，B∈β，A，B？l分别表示矢量积的个数？一、？b的符号判断θ和< a，b >的关系。
图11是什么？a & gt0,?b0，？b & gt0，两个符号相同的乘积，θ = < a，b >；
图14中有什么？A0，两个乘积的不同符号，θ = π-< a，b >；
它被称为测试向量。
那么上面的结论可以概括为“等而不同补”(如果？一、？b同号，则θ = < a，b >；如果符号不同，θ = π-< a，b >)，采取的策略是“法向量固定，特殊向量固定”。
注意，如果取(1)测试向量，上述结论由=-成立，说明与测试向量的方向无关。
(2)?l，否则会有？A=0还是？b=0。
例6(湖南2008)与例2相同，此处只说明问题(2)。
图15
解析(2)如图15，以A为原点建立直角坐标系A-XYZ。
然后是一个(0，0，0)，
B(1，0，0)，
c，，0，
d，，0，
P(0，0，)，
E1，，0。
所以= (1，0，-)，
=0,,0.
设n1=(x1，y1，z1)为平面PBE的法向量。
然后由n1？=0，n1？=0,
x 1+0×y 1-×z 1 = 0，0× x1+× y1+0 = 0。
所以y1=0，x1=z1。
所以可以取n1=(，0，1)。
平面ABE的一个法向量为N2 = (0，0，1)，设二面角a-be-p为θ。
因为cos < n1，N2 > = =，
所以< n1，N2 > = 60。取测试向量=，其中n是PE的中点，则
n1=(，0，1)？，，= & gt0,?n2=，，？(0，0，1)= >0.
根据以上结论，θ = < N1，N2 > = 60。
例7(安徽，2007)如图16所示，在六面体ABCD-a 1b 1c 1d 1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1b1d65438+。DD1⊥平面A1b1d1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2。
(1)验证:A1C1和AC * *，B1D1和BD * * *
(2)验证:平面A1ACC1垂直于平面b 1 BDD 1；
(3)求二面角A-BB1-C(用反三角函数值表示)。
图16
(1)(2)的分析。
(3)以D为原点，以DA、和DD1的直线分别为X轴、Y轴和Z轴，建立空间直角坐标系D-XYZ(如图16)。
然后a (2，0，0)，b (2，2，0)，c (0，2，0)，
A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，
C1(0，1，2)，D1(0，0，2)。
=(-1,0,2),
=(-1,-1,2),=(0,-1,2).
设n=(x1，y1，z1)为平面a 1ab 1的法向量，则有
n？=-x1+2z1=0，
n？=-x 1-y 1+2z 1 = 0。
所以y1=0。取z1=1，
那么x1=2，n = (2，0，1)。
设m=(x2，y2，z2)为平面B1BCC1的法向量，则有
m？=-x2-y2+2z2=0，
m？=-y2+2z2=0。
所以x2=0。
取z2=1，
那么y2=2，m = (0，2，1)，
cos÷m，n÷= =。
所以二面角A-BB1-C是π-arccos或arccos。
取测试向量= (-2，2，0)，
然后呢？n=(-2，2，0)？(2,0,1)=-40.
由以上结论可知，有θ = π-< n，m > = π-arccos。
在此，笔者介绍一种简单有效的判断两平面的法向量与二面角所成的角是否相等或互补的方法。
定义:设平面α的法向量n在平面α的一边。如果向量N的终点到平面α的距离小于向量N的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量指向平面α(如图17)。如果向量N的终点到平面α的距离大于向量N的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量偏离平面α(如图18)。
图17
图18
设两平面的法向量在二面角α-L-β内。若平面α的法向量n1指向(偏离)平面α，平面β的法向量n2指向(偏离)平面β，则二面角α-L-β为π-θ(如图19)。若平面α的法向量n1指向(偏离)平面α，平面β的法向量n2指向(偏离)平面β，则二面角α-L-β为θ(如图20所示)，所以二面角α-L-β的平面角为法向量n1与法向量n2形成的角θ或π-θ。
那么上述结论可以概括为“同补异等价”(若n1和n2都指向或偏离α和β，θ = π-< N1，N2 >；如果n1和n2中的一个点和另一个点偏离，θ = < N1，N2 >)。
我们以例6和例7为例来说明:
在例6中，n1在二面角A-be-p内，矢量n1指向平面PBE，n2在二面角A-be-p内，n2偏离平面ABE，所以两个法向量之间的夹角< N1，N2 >是二面角的大小，即60°。
例7中，n指向二面角A-BB1中的平面ABA1B1，m指向二面角A-BB1中的平面BB1CC1。
所以二面角A-BB1-C的平面角就是法向矢量夹角< n，m >的余角，也就是π-arccos。
从上面的例子可以看出，用法向量解二面角的思路是比较独特的，用代数的方法解决几何问题。其中直角坐标系的建立应是基础，判断两平面的法向量所成的角与二面角的平面角是否相等或互补是难点和关键。
使用上述策略求解二面角时，一般可以依次进行，即先“找”看几何图形中是否存在二面角的平面角，如果有，“证明”→“计算”，如例1所示；找不到就去做；做就做→作证→计算；做不到或者做起来很难，就做出来，构造投影或者构造向量。
总之，解决二面角问题的方法很多，也比较灵活。作为初学者，只有在认清每种方法特点的基础上，通过大量的学习，才能达到熟练掌握和运用的目的。
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