双通道高中系列题``已知递推公式``求通项公式。
1
a1=1
a2=1
a3=a1+a2=2
a4=a2+a3=3
a5=a3+a4=5
从第二项开始:
这是斐波那契数列。
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
递归函数为f(n+1)=f(n)+f(n-1)，没有初等函数的通项公式。
2
猜想:通项不能用初等函数表示。
原因:通项的公式是非线性的，用一般方法很难求出。所谓“通项”，其实无非是把n作为自变量，和那些89类基本初等函数复合起来。否则，如果不能由那些基本初等函数复合得到，通项就不能准确表达，只能求助于计算数学来求某项的近似值，而不能求所有的近似值。
所以现在的第一个问题是证明这个通项是否可以写成解析表达式，即由初等函数复合而成。如果这个问题解决不了，很可能我们所有的努力都白费了。
在微分方程中，约瑟夫·刘维尔证明了几乎所有的非线性方程，而解函数没有解析表达式。
而在这里，我猜结论也差不多。更具体的说，具体怎么操作就不清楚了。
但可以证明这个通项趋于正无穷大。由已知公式可知，an < =n，因此1/an & gt；1/n，因此a(n+1)>=an+1/n，an增加，所以通项的增长速度不比调和级数慢。