解这道初中数学几何题思路或过程。

过b点为BF⊥CD，过p点为DE的平行线相交于g点，BC在h点，AB的延长线在I点，

连接EG，取AB的中点o，过o点时做OJ⊥GI，向下做以o点为圆心，OA为半径的半圆o。

根据题意，很容易知道四边形ABCD是直角梯形，而因为BF⊥CD，四边形ABFD是矩形。

从tan∠C=2，BF/CF=2，因为AB=DF=8，CD=11，

所以CF=11-8=3，AE=AD=BF=6，因为DE∑GI，

很容易知道四边形DEIG是平行四边形，GI上所有点满足S△DEP=9。

那么就可以知道△DEG和△DEP是等底等高的三角形，S△DEG=S△DEP=9

即S△DEG=DG×AD÷2=DG×6÷2=9，DG=EI=3。

因为点O是AB的中点，OA=OB=4，OI=OE+EI=AE-OA+EI=6-4+3=5，

由∠ bad = 90，AD=AE可知△ADE是一个等腰直角三角形，其中∠ AED = ∠ I = 45，

所以△OIJ是等腰直角三角形，很容易知道OJ=IJ=5√2/2。

那么OJ < ob，所以半圆O和GH有两个交点(图中P点和Q点)。

因为OA < ad，点p在四边形EBCD中，满足问题的含义。

点P显然在半圆O上有∠ APB = 90，SIN ∠ 90 = 1，所以sin∠APB的最大值是1。

有两点p满足题意，即p点和q点，但只要证明p点满足题意，

点Q如果不在四边形EBCD内不影响结果(证明点Q比较麻烦)。