解析几何

还有抛物线？

好++++++++++>下面补充！

1.椭圆

解释/word/28/03/280304.htm

试题/list/shiti/index.htm

定义

椭圆是圆锥曲线(也叫圆锥曲线)。现在高中课本上有两个定义:

1，平面上两点距离之和为定值的点集(定值大于两点间的距离，一般称为2a)(这两个不动点也称为椭圆的焦点，焦点间的距离称为焦距)；

2.平面到固定点的距离与到固定线的距离之比是常数的点集(固定点不在固定线上，常数是小于1的正数)(固定点是椭圆的焦点，直线称为椭圆的准线)。这两个定义是等价的。

标准方程

在平面直角坐标系中，高中课本用方程描述椭圆。椭圆的标准方程是:x ^ 2/a ^ 2+y ^ 2/b ^ 2 = 1。

其中a & gt0，b & gt0。A和B中较大的一个为椭圆的长半轴，较短的一个为短半轴(椭圆有两个对称轴，被椭圆切割后有两条线段，分别称为椭圆的长半轴和短半轴)当A >时；B，焦点在X轴上，焦距为2 * (A 2-B 2) 0.5，准线方程为X = A 2/C，X =-A 2/C。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作是圆在某一方向的拉伸，其参数方程为:x=acosθ，y=bsinθ。

公式

椭圆的面积公式

S=π (pi) ×a×b(其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度)。

或者S=π (pi) ×A×B/4(其中a和B分别是椭圆的长轴和短轴的长度)。

椭圆圆的周长公式

椭圆周长没有公式，只是一个整数或者无限展开。

椭圆周长(L)的精确计算需要积分或无穷级数的求和。诸如

l = 4a * sqrt (1-e sin t)的(0-pi/2)积分，其中a为椭圆的长轴，e为偏心率。

椭圆的偏心率公式

e=c/a

椭圆的准线方程

x=+-a^2/C

椭圆焦点半径公式

通过右焦点的椭圆半径r=a-ex。

左焦点的半径r=a+ex。

相关特性

因为平面截锥(或圆柱)得到的图形可能是椭圆，所以属于圆锥曲线。

例如，有一个圆柱体，它被切割以获得横截面。证明是椭圆(用上面第一种定义):

从圆柱体两端向中间挤压与圆柱体半径相同的两个半球，当它们接触截面时停止，这时你会得到两个公共点，显然它们是截面和球的切点。

设两点为F1和F2。

对于截面上的任意一点P，母线Q1和穿过P的Q2为圆柱体，与球体和圆柱体相切的大圆分别相交于Q1和Q2。

那么PF1=PQ1，PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2。

根据1的定义，截面是以f 1和F2为焦点的椭圆。

同理，也可以证明圆锥体的斜截面(不穿过底部)是椭圆。

椭圆有一些光学性质:椭圆的镜面(以椭圆的长轴为轴，将椭圆旋转180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，是空心的)可以将一个焦点发出的光全部反射到另一个焦点；椭圆透镜(部分截面为椭圆形)具有会聚光线的作用(也称凸透镜)。老花镜、放大镜、远视镜都是这样的镜片(这些光学性质可以用反证法来证明)。

2 .双曲线

解释/word/12/89/128950 . htm

试题/list/shiti/index.htm

双曲线的第二个定义是:

到固定点的距离与到固定线的距离之比=e，e∈(1，+∞)

双曲线的标准方程是(x 2/a 2)-(y 2/b 2) = 1。

其中a & gt0，b & gt0，C2 = a ^ 2+b ^ 2，一个动点与两个不动点之差的绝对值为定值2a。

双曲线的参数方程是:

x=X+a secθ

y=Y+b tanθ

(θ是参数)

几何属性:

1，取值范围:x ≥ a，x ≤-a。

2.对称性:关于坐标轴和原点的对称性。

3.顶点:A(-a，0) A'(a，0) AA '称为双曲线的实轴，长2a；

B(0，-b) B'(0，b) BB '称为双曲线的虚轴，其长度为2b。

4.渐近线:

y= (b/a)x

5.离心率:

E=c/a值范围:(1，+∞)

双曲线上的一点和固定点到固定直线的距离之比等于双曲线的偏心率。

7双曲线焦半径公式:二次曲线上任意点到焦点的距离。

右焦点半径r=|ex-a|

左焦点的半径r=|ex+a|

等边双曲线双曲线的实轴和虚轴长度相等。

2a=2b e=√2

9 ***轭双曲线

(x 2/a 2)-(y 2/b 2) = 1和(y 2/b 2)-(x 2/a 2) = 1称为* * *轭双曲线。

(1)***渐近线

(2)e 1+E2 & gt；=2√2

双曲线的标准公式是:

x^2/a^2-y^2/b^2 = 1(a & gt；0，b & gt0)

反比例函数的标准形式是xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函数确实是由双曲函数旋转得到的。

因为xy = c的对称轴是y=x，y=-x而x ^ 2/a ^ 2-y ^ 2/b ^ 2 = 1的对称轴是x=0，y=0。

所以应该旋转45度。

设旋转角度为a (a≠0，顺时针)

(A是双曲渐近线的倾角)

然后是

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

设a = π/4。

规则

x^2-y^2 =(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2

=(√2/2 x+√2/2 y)^2-(√2/2 x-√2/2 y)^2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy。

而xy = C。

因此

x^2/(2c)-y^2/(2c)= 1(c & gt；0)

y^2/(-2c)-x^2/(-2c)= 1(c & lt；0)

证明了反比例函数实际上是双曲函数。

谢谢~

抛物线！

1，定义

在平面中，到一个定点F和一条定线L的距离相等的点的轨迹(或集合)称为抛物线。另外，f称为“抛物线的焦点”，l称为“抛物线的准线”。

定义焦点到抛物线准线的距离为“焦距”，用p & gt0.

将切面以平行于地面的方向插入一个圆锥体，得到一个圆。如果你把平面倾斜到与一边平行，就可以做出抛物线。

2.抛物线的标准方程

右开口抛物线:y ^ 2 = 2px

左开抛物线:y ^ 2 =-2px

上口抛物线:y = x 2/2p

下开口抛物线:y =-x 2/2p

3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

偏心率:e=1

焦点:(p/2，0)

对齐等式l:x=-p/2

顶点:(0，0)

4.它的解析解:

三点替代法

5.抛物线的光学性质；

通过焦点的光被抛物线反射后平行于抛物线的对称轴。

6.其他人

抛物线:y = ax^2+bx+c

y等于ax加bx加c的平方。

a & gt为0时，开口向上。

a & lt为0时，开口向下

当c = 0时，抛物线通过原点

当b = 0时，抛物线的对称轴为Y轴。

而顶点y = a (x-h) *+K。

即y等于a乘以(x-h)+K的平方。

h是顶点坐标的x。

k是顶点坐标的y。

一般用来求最大值和最小值。

抛物线标准方程:y ^ 2 = 2px

意思是抛物线的焦点在X的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0)，准线方程为x=-p/2。

由于抛物线的焦点可以在任意半轴上，* *有标准方程y ^ 2 = 2px y ^ 2 =-2px x ^ 2 = 2py x ^ 2 =-2py。

以下是更多的问题和分析:

我们知道，抛物线y = ax2+bx+c (a ≠0)是一个轴对称图形，其对称轴是一条直线x =-b/ 2a，其顶点在对称轴上。在解决有关抛物线的问题时，如果能巧妙地利用抛物线的对称性，往往能给出简单的解法。

例1已知抛物线对称轴为x =1，抛物线与Y轴相交于点(0，3)，与X轴两交点的距离为4。求这条抛物线的解析表达式。

抛物线的解析式为y = ax2+bx+c，如果采用常规解法，需要求解关于A、B、C的三元线性方程组，变形过程复杂。如果巧妙地利用抛物线的对称性，解法就简单了。因为抛物线的对称轴是x =1，与X轴的两个交点的距离是4，所以从抛物线的对称性可以知道它与X轴相交于两点，A (-1，0)和B (3，0)。所以抛物线的解析式可以设为y = a(x+1)(x-3)。因为抛物线和Y轴相交于点(0，3)，3 = -3a。所以a =-1。

∴y = -(x+1)(x-3)，即

y = - x2 + 2x +3 .

例2已知抛物线经过两点A (-1，2)和B (3，2)，其顶点的纵坐标为6。当x =0时，求y的值。

分析要求当x =0时，y的值只需要找到抛物线的解析式。

根据抛物线的对称性，A (-1，2)和B (3，2)是抛物线上的对称点。所以抛物线的对称轴是x = 1。所以抛物线的顶点是(1，6)。所以抛物线的解析式可以设为y = a(x-1)2+ 6。因为点(-1，2)在抛物线上，4a+6 = 2。所以a = -1。

∴y = -(x-1)2+ 6，即

y = - x2 + 2x +5 .

当x =0时，y = 5。

例3已知抛物线与X轴的两个交点A和B的距离为4，与Y轴相交于点C，其顶点为(-1，4)。求△ABC的面积。

要分析△ABC的面积，只需要找到c点的坐标，因此，需要抛物线的解析式。根据题目，抛物线的对称轴是x = -1。根据抛物线的对称性，A点和B点的坐标分别为(-3，0)和(1，0)。所以抛物线的解析式可以设为y = a(x+1)2+ 4[或者y = a(x+3)(x-1)]。

∵点(1，0)在抛物线上，

∴4a + 4 = 0 .∴a = -1 .

∴y = -(x+1)2+ 4，即

y = - x2 - 2x +3 .

∴点c的坐标是(0，3)。

∴S△ABC = 1/2×(4×3)= 6 .

例4已知抛物线y = ax2+bx+c的顶点A的纵坐标为4，与Y轴相交于B点，与X轴相交于C和D两点，-1和3是方程ax2+bx+c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。

分析所需四边形ABCD的面积，得到A点和B点的坐标..所以需要抛物线的解析式。根据题目，C和D的坐标分别为(-1，0)和(3，0)。根据抛物线的对称性，抛物线的对称轴为x = 1。所以顶点A的坐标是(1，4)。所以抛物线的解析式可以设为y = a(x-1)2+ 4[或者y = a(x+1)(x-3)]。

∵点(-1，0)在抛物线上，

∴4a + 4 = 0 .所以a = -1。

∴y = -(x-1)2+ 4，即

y = - x2 + 2x +3 .

∴b点的坐标是(0，3)。

若OA连通，则S四边形ABCD = S△BOC+S△AOB+S△AOD = 1/2×1/2×3+1/2×3×1+1/2×3×4。