高等代数问题

引理:若A和B都是数域F上的m×n矩阵，且A和B的秩相等(即r(A)=r(B))，

然后有一个可逆矩阵p，所以B=PA。其证明如下:

证明:因为r(A)=r，所以A可以通过满秩的初等行变换转化为矩阵C:

呃0

0 0

其中er是r阶单位矩阵。

由于每个基本行变换相当于将A乘以同余矩阵Pi，假设执行S步变换，PS...P2P 1A = C；

同样，B可以通过满秩的初等列变换转化为C，每一列变换等价于初等矩阵Qj的左乘。假设执行T步变换，Qt...Q2Q1B = C。

那是Qt...q2q1b = c = PS...p2p1a。

由于同余矩阵是可逆的，上述公式的左右两边乘以q1 (-1) q2 (-1)...qt (-1)同时:

b = q 1(-1)Q2(-1)...Qt (-1) PS...p2p1a = pa，其中p = q1 (-668)。

引理证明了这一点。

应用这个引理，我们来证明你给出的问题。

证明:

㈠必要性:

如果AX=0和BX=0有相同的解，即AX=0的解都是BX=0的解，BX=0的解都是AX=0的解。

设r(A)=r，r(b)= s；然后齐次方程组AX=0的基本解系中有n-r个解向量，然后方程组BX=0的基本解系中有n-s个解向量。

由于AX=0的解都是BX=0的解，所以后者的基本解系中的解向量不小于前者，即n-s≥n-r，即s ≤ r

同样，r≤s也成立，所以R = S..

因此，通过引理，存在一个可逆矩阵p，使得B=PA。证明了必要性。

㈡充足性:

如果存在可逆矩阵p使得B=PA，

那么对于任何BX=0的解x，都有PAX=0。

因为P是可逆的，所以P在PAX=0方程两端同时左乘的逆是AX=0。

所以BX=0的解都是AX=0的解；

对于AX=0的任意解X，将AX=0方程的两端乘以P，得到PAX=BX=0。

所以AX=0的解也是BX=0的解。

因此，AX=0和BX=0有相同的解，充分性得到证明。

原命题被证明！

希望采纳，有不懂的可以问，以后有问题也可以问我。我爱数学！