积分实问题

∫(x？+秒？x)dx=(1/3)x？+tanx+C

∫[1/(2x-3)]dx=(1/2)∫[1/(2x-3)]d(2x-3)=(1/2)ln∣2x-3∣+c

∫sin(x/2)dx = 2∫sin(x/2)d(x/2)=-2cos(x/2)+C

∫dx/(1+√x)；设x=u，那么x = u？，dx = 2udu

所以原来的公式= 2∫udu/(1+u)= 2∫[1-1/(1+u)]du = 2[u-ln 1。

∫xe^(3x)dx=(1/3)∫xd[e^(3x)]=(1/3)[xe^(3x)-∫e^(3x)dx]=(1/3)e^(3x)-∫e^(3x)d(3x)

=(1/3)e^(3x)-e^(3x)+c=-(2/3)e^(3x)+c

-2，-1∫(1+2x)？dx=-2，-1(1/2)∫(1+2x)？d(1+2x)=(1/6)(1+2x)？-2,-1=-(1/6)+9/2=13/3

0，1/2∫arcsinxdx =[xarcsinx+√( 1-x？)]0,1/2=π/6+(√3/2)-1

0，1/4∫xdx/√(1-2x)=0，1/4-∫xd √( 1-2x)=-[x √( 1-2x)-∫√( 1-2x)dx]0，1/4

=-[x √( 1-2x)+(1/2)∫√( 1-2x)d(1-2x)]0，1/4

=-[x √( 1-2x)+(1/3)x √( 1-2x)+√( 1-2x)？]0,1/4

=-[1/(4√2)+1/(12√2)+1/(2√2)]+1=(12+5√2)/12

(一)。求微分方程2xy+x？y' = (1-x) y的通解。

解决方案:x？Y'=y-3xy，即(3xy-y)dx+x？dy=0...........(1);

其中P=3xy-y，Q=x？；？P/？y = 3x-1≦？Q/？X=2x，所以原方程不是全微分方程。

但是(1/Q)(？P/？你-？Q/？x)=(1/x？)(3x-1-2x)=(x-1)/x？=G(x)是x的函数，

所以有一个积分因子μ(x)= e∫g(x)dx = e∫[(1/x)-(1/x？)]dx=e^(lnx+1/x)=xe^(1/x)；

将μ(x)乘以[(3xy-y) Xe (1/x)] dx+[x？e^(1/x)]dy=0..........(2)

此时p =(3xy-y)xe(1/x)；Q=x？e^(1/x)；

P/？y=(3x-1)xe^(1/x)=？Q/？x=3x？e^(1/x)-xe^(1/x)=(3x-1)xe^(1/x)；因此，(2)是一个全微分方程。

(2)左边是函数u(x，y)=∫[(3xy-y)xe(1/x)]dx = yx？e的全微分(1/x)。因为:

杜=(？u/？x)dx+(？u/？y)dy=y[(3x？-x]e^(1/x)dx+x？E (1/x)] dy = (2)左。

那么隐函数呢？yx？E (1/x) = c是原方程的通解。

(2)求微分方程y''+2y'+y = e (-x)的通解。

解:齐次方程y''+2y'+y=0的特征方程是r？+2r+1=(r+1)？=0，有重根r？=r？=-1;

所以齐次方程的通解是y=(C？+C？x)e^(-x)

我们来找一个特解y *；利用待定系数法:设特解为y*=ax？e^(-x)

(y*)'=2axe^(-x)-ax？e^(-x)=(2ax-ax？)e^(-x)

(y*)''=(2a-2ax)e^(-x)-(2ax-ax？)e^(-x)=(2a-4ax+ax？)e^(-x)

代入原公式(2a-4ax+ax？)e^(-x)+2(2ax-ax？)e^(-x)+ax？e^(-x)=e^(-x)

(2a-4ax+ax？)+4ax-2ax？+ax？=1

即2a=1，所以a=1/2，即特解为y*=(1/2)x？e^(-x)

所以原方程的一般解是:y=(C？+C？x)e^(-x)+(1/2)x？e^(-x)=[C？+C？x+(1/2)x？]e^(-x)