数学问题初中

考生在解决数学问题时，一定要注意问题的综合考虑和分类讨论中解题思路的应用。

一定要更加注重培养“快速形成思路”和“快速形成轧辊”的能力。

本题第一题，等腰直角△ABC在第二象限的放置(靠两个坐标轴)，

因为原问题只是向考生透露了“AC是直角边”，显然应该分两种情况讨论:

(案例1): AC是直角边，C是直角顶点。

如果交点b是BD⊥x轴是d，就很容易证明△BCD≔△Cao(AAS)。

∴BD = CO = 1，CD = AO = 2

∴b点的坐标是(-3，1)。

设线段AC的中点为e，EM ⊥ y轴为m，EN ⊥ x轴为n，

从中线的知识，很容易知道E坐标是(-1/2，1)。

两点有相同的纵坐标。

∴线段BE是∴ X轴，be是△ABC的中线。

∴来自三角形重心的性质(三条中线的交点)

重心g在BE上，GE= 1/3？BE(重心到三角形顶点的距离=对边中点距离的两倍)

Be = (-1/2)-(-3) = 5/2(数轴上两点之间的距离是用右边的大值减去左边的小值计算出来的)。

GE = 1/3？BE = 5/6 = E点横坐标减去g点横坐标。

g点的横坐标是:-1/2-5/6 =-4/3。

g点在直线X =-4/3上，即重心在“支点”c左侧的直线上。

∴ △ABC必然会绕c逆时针旋转，不可能倾斜！

建议你用等腰直角三角形均匀操作纸张，逆时针试一下就知道不能倾斜了。

∴这种情况是无关紧要的，也不存在。

(情况2) AC是直角边，A是直角顶点。

如果b是BF ⊥ y轴是f，就很容易证明△BFA≔△AOC(AAS)。

∴ BF = AO = 2，FA = OC = 1

∴b点的坐标是(-2，3)。

此时△ABC的重心G在过C点的直线X =-1上，正好不旋转，可以斜倚，符合题意。

∴b点的坐标是:(-2，3)

第二个问题:

∵抛物线y = ax？+ax - 2穿过点b (-2，3)

∴把x = - 2和y = 3代入y = ax？+ax - 2:

3 = a？( - 2)?+ a？( - 2) - 2

3 = 4a - 2a - 2

∴ a = 5/2

抛物线的解析式为:y = (5/2) x？+ (5/2) x - 2

问题3:假设有一个点P，使得△ACP仍然是以AC为右边的等腰直角三角形:

(1)若A是右顶点，则将BA扩展到P1，使AP1 = BA，

得到等腰直角三角形△ACP1。

通过P1作为P1N ⊥ y轴为n，很容易证明Rt△ANP1 ≌ Rt△AFB。

∴ NP1 = FB = 2安=法= 1，则开= OA-安= 1。

∴点P1的坐标是(2，1)。

用x=2代替y = (5/2) x？+(5/2) x-2得到y=13。此时的y？1

验证此时的点P1满足△ACP是以AC为直角的等腰直角△，但P1不在抛物线上。

∴点P1 (2，1)不符合题意，故略去。

(2)若c是直角的顶点，设c是CP2 ⊥ CA，设CP2 = CA。

得到等腰直角三角形ACP2。

证明Rt△CMP2 ≌ Rt△AOC很容易，如果P2M ⊥ x轴在P2之后m。

∴MP2 = oc = 1cm = ao = 2 om = cm-co = 2-1 = 1

∴点P2的坐标是(1，-1)

用x = 1代替y = (5/2) x？+(5/2) x-2得到y= 3。此时的y？- 1

验证了此时的点P2满足△ACP是以AC为右边的等腰直角△，但P2不在抛物线上。∴点P2 (1，-1)也不符合题意，所以略去。

综上所述，抛物线上没有点P(B除外)，使得三角形ACP仍然是以AC为右边的等腰直角三角形。

点评:在解决或证明“有抛物线吗？”，通常的解决方法是:先找到符合题意的点的坐标，然后将该点的坐标代入抛物线解析式，验证该点是否在抛物线上。

考生在解这类题时，不要认为自己一定是单方面存在的，然后对自己解出来的不存在的结果表现出深深的恐慌，反复检查自己是否有错。解决问题时记得“小心翼翼，一蹴而就”。

美中不足的是，命题者没有充分考虑“三角形重心的位置和能否倾斜”的细节，没有说明是否施加外力使其如图倾斜，导致考生甚至老师按错图求解。

如果考生能综合考虑，这个问题还是不错的。