2009年卢湾区第二届数学建模试卷及答案。
数学测试
(满分150，考试时间100分钟)2009年4月
一、选择题(本大题***6题，每题4分，满分24分)
1.在下列运算中，正确的计算结果是.........................................()
A.；b；
C.；d。
2.在下图中，无理数是...............................................()
A.；b；c；d。
3.下列二次三项式中，可以在实数范围内分解的是.......................().
A.；b；
C.；d。
4.在平面直角坐标系中，一条直线穿过...........................()
A.第一、第二和第三象限；b .第一、第二和第四象限；
C.第一、第三和第四象限；d .象限2、3和4。
5.下列交通标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是.................().
6.如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，，，则与下列向量等价的向量为................................().
A.；b；c；d。
二、填空(本大题***12，每题4分，满分48分)
7.函数自变量的范围是。
8.有一个质地均匀的立方体骰子，六个面分别刻有从1到6的点。掷骰子一次，上边点数为偶数的概率是。
9.不等式的正整数解是。
10.在方程中，如果设定，那么原方程可以转化为关于y的积分方程。
11.方程的根是。
12.如果双曲线通过平面直角坐标系中的一点，那么。
13.写出开口向下，对称轴直的抛物线的解析函数。
14.如图，已知如果，则度等于。
15.如果一个梯形的两个底边分别是4和6，那么这个梯形的中线长度为。
16.地面2000米以上的飞机测得的地面控制点的俯角为，飞机与地面控制点的距离为米(用包含的锐角三角形比表示)。
17.如果正六边形的外接圆半径为4，则正六边形的边长为。
18.已知某商品价格为每件150元。即使促销降价后，扣除成本仍有利润，所以每件商品的成本价为人民币。
第三，回答问题
19.(此题满分为10)
先简化，再求值。
20.(此题满分为10)
解方程:
21.(本题满分为10，(1)满分为5，(2)满分为5。)
如图，已知A，B，C为圆上的点，平分圆弧，与弦相交于H，=，3点。
(1)求下弧的长度；(结果保留)
(2)将线段绕圆心顺时针旋转90度，线段与线段相交于点。在答题卡上21题图-2中画线段，求线段的长度。
22.(本题满分为10，(1)满分为6，(2)满分为4)。
右图为卢湾区某学校八年级一班男生引体向上成绩。
(1)计算八年级一班男生引体向上成绩的众数、中位数、平均数；
(2)在答题卡上画出八年级一班男生引体向上成绩的频数分布直方图(将所有数据分为四组，每组包括最小值但不包括最大值)。
引体向上次数引体向上次数
01 11 11 0
02 0 12 4
03 1 13 0
04 2 14 9
05 12 15 0
06 1 16 12
07 0 17 1
08 0 18 2
09 18 19 16
10 1 20 0
23.(本题满分为12，(1)满分为7，(2)满分为5)。
如图，在平行四边形ABCD中，E，F，G，H点分别在AB，BC，CD，AD的边上，AE=CG，Ah = CF .
(1)验证:四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AB=AD，AH=AE，
证明:四边形EFGH是长方形。
24.(本题满分为12，(1)满分为7，(2)满分为5)。
在平面直角坐标系中，抛物线沿轴平移1个单位，再沿轴向右平移两个单位。平移抛物线顶点的坐标标为A，直线与平移抛物线相交于B，与直线OA相交于c .
(1)求△ABC面积；
(2)点P在平移后抛物线的对称轴上。如果△ABP与△ABC相似，求满足条件的P点的所有坐标。
25.(本题满分14，(1)满分7，(2)满分7)。
在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，d是AB上面的一点，交点d是DE⊥AB在e点与BC相遇，交点e是EF⊥BC在f点与AC相遇.
(1)当BD的长度为什么值时，以F点为圆心，线段为半径的圆是否与BC相切？
(2)设交点f为FP⊥AC，与线段DE相交于点g，设BD的长度为，efg的面积为，求分辨函数及其定义域。
卢湾区2009年初中毕业统一学业模拟考试。
参考答案和评分说明
一、选择题(本大题***6题，每题4分，满分24分)
1.d；2.c；3.b；4.b；5.a；6.D。
二、填空(本大题***12，每题4分，满分48分)
7.；8.；9.1;10.；
11.；12.；13.等等。14.；
15.5;16.；17.4;18.100.
第三，回答问题
19.解:原公式=……2分。
=……2分。
=……2分。
=........................................................2分。
当，原公式= =........................................2分。
20.解:从(2)，得分:…… 3分。
得到方程式:(一)(二)...2分。
解方程组(一)2分。
对于方程组(II)的求解，得到
所以原始方程的解是...1.
21.解决方案:平分，∴ ⊥，....................................................................................................................................
加入OA和OB，设OA=，那么，
根据毕达哥拉斯定理，答案是....................................................................................................................................................................
*,oa=6,∴⊥30。
oa = ob，∴ 30，∴ 120..............................1分。
∴ .........................................1分。
(2)略作素描....................................................................................................................2分。
取中点连接，然后⊥，
是旋转后的对应点，∴ = 90，。
和⊥，∴四边形广场....................................................................................................................2分。
∴ .
∴ ......................................1分。
22.解:(1)模式为0；...........................................2分。
中位数是1；..........................................2分。
平均值是4.5..................................................2分。
(2)
.................................4分。
23.证明:在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，0。
AE = CG，AH=CF，
∴△aeh≔△CGF...............................................................................2分。
∴ .............................................1分。
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴ , ,
即，。
而∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△bef≔△dgh.....................................................................................................................
∴ ................................................1分。
∴四边形EFGH是一个平行四边形.......................................................................1分。
(2)解法1:在平行四边形中AB=CD。，AB‖CD，AB = CD。
那好吧。
ae = ah，∴∠ AHE = ∠ AEH =.....................................................................................................................................
也就是∴，....................................................................................................................................................................
∴∠dhg =∞∠dgh =...............................................................................1分。
∴∠ ehg = ∠ ahe..............................................................1分。
四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是长方形...................................................................................................1分。
解决方案2:连接BD，AC。
AH = AE，AD = AB，
∴，∴HE‖BD，.....................................................1分。
同样，GH‖AC，................................................1分。
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，.......................................1分。
∴∠·∴ac⊥bd........................................................1分。
四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是长方形...................................................................................................1分。
24.解:抛物线平移后的解析式为
∴a点的坐标是(21)，..................................................................................................................................................
设直线OA的解析式为，代入A (2，1)
所以，直线OA的解析式是，
如果代入，点∴C的坐标是(3，).....................................................................................................................................................
代入，点∴B的坐标为(3，3)............1分。
∴ .......................................................2分。
(2)∵PA‖BC,∴∠PAB=∠ABC
1当∠PBA=∠BAC时，Pb ∠ AC和∴四边形PACB是平行四边形。
∴ ....................................1分。
∴ ......................................1分。
2当∠APB=∠BAC时，
,∴ .
再说一遍，
∴ ....................................1分。
∴ ....................................1分。
总结一下，符合条件的点有:..................................................................................................1分。
25.解:(1) A是AM⊥BC，脚是m，..................................1分。
在Rt△ABM，，AB=3，∴ BM = 1....................................................................1分。
ab = ac，AM⊥BC，∴ BC = 2..................................................................1分。
设BD很长，
在Rt△BDE，∴BE=，EC =。
同理，FC=，FE=，....................................1分。
∴AF=，.................................................1分。
Get =从问题的意思，得到.......................................2分。
(2) ∵DE⊥AB,EF⊥BC，
∴, ∴ .........1点
同样，∴△ ABC ∽△ EFG.......................................1分。
∴ ...................................1分。
∴
...4分
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