欧氏空间考研试题

解:由已知，σ (ε 1，ε 2，ε 3) = (ε 1，ε 2，ε 3) a。

A=

2 1 1

1 2 1

1 a 2

|A-λE|=

2-λ 1 1

1 2-λ 1

1 a 2-λ

r1-r2

1-λ λ-1 0

1 2-λ 1

1 a 2-λ

c2+c1

1-λ 0 0

1 3-λ 1

1 a+1 2-λ

=(1-λ)[(3-λ)(2-λ)-(a+1)]

= (1-λ)(λ^2-5λ-a+5).

(1)如果1是A的重特征值，那么1-5-a+5=0，a=1。

这时A是实对称矩阵，可以对角化，所以σ可以对角化。

(2)如果1不是a的重特征值，那么5 ^ 2-4(5-a)= 0，a=5。

此时A的特征值是1，5，0，A可以对角化，所以σ可以对角化。