2019中考真题因式分解
每一项的公因数称为这个多项式的每一项的公因数。
如果多项式的每一项都有一个公因子，就可以提出这个公因子，这样多项式就可以转化为两个因子的乘积。这种分解因素的方法叫做提高公因子法。
具体方法:当所有系数都是整数时，公因数公式的系数要取所有系数的最大公约数；字母取每一项的同一个字母，每个字母的索引取最小的数字；取最低次的同一个多项式。
如果多项式的第一项为负，通常提出一个“-”号，使括号中第一项的系数变为正。提出“-”号时，应改变多项式的各项。
口诀:找对公因子，一次清理；全家搬走，留下1看家；负号要改，变形要看奇偶性。
比如:-am+BM+cm =-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
注:将2A 2+1/2改为2 (A 2+1/4)不是公因数。
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，有些多项式可以因式分解。这种方法叫公式法。
平方差公式:a2-B2 =(a+b)(a-b)；
完全平方公式:a 22ab+b 2 =(a b)2；
注:可以用完全平方公式分解因子的多项式一定是三项式，其中两个可以写成两个数(或公式)的平方和，另一个是这两个数(或公式)的乘积的两倍。
立方和公式:a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2)；
三次差分公式:a3-B3 =(a-b)(a2+a b+B2)；
完全立方公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。
公式:A 3+B 3+C 3+3 ABC =(A+B+C)(A 2+B 2+C 2-A B-BC-CA)
比如:a 2+4ab+4b 2 = (a+2b) 2。
(3)因式分解技巧
1.因式分解因子和代数表达式乘法是互逆变形。
2.因式分解技巧:
①方程的左边必须是多项式；
②因式分解的结果必须用乘积的形式表示；
③每个因子必须是代数表达式，每个因子的次数必须低于原多项式的次数；
④因式分解因子必须分解到每个多项式因子都不能再分解为止。
注意:分解因子前要找到公因子，确定公因子前要考虑系数和因子。
3.公因子法的基本步骤:
(1)求公因数；
(2)取公因子，确定另一因子:
(1)求公因子的第一步可以根据确定公因子的方法来确定。
(2)第二步，提出公因子，确定另一个因子。注意确定另一个因素。你可以把原多项式除以公因式，得到的商就是提高公因式后的余数。也可以用公因式去掉原多项式的每一项，求剩下的因式。
(3)提取公因子后，另一个因子的项数与原多项式相同。
[编辑此段]比赛中使用的方法
⑶分组分解法
群分解是求解方程的一种简单方法。让我们学习这些知识。
方程中有四个或四个以上的项可以分组，一般的分组分解有两种形式:二分法和三分法。
例如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分在一组，bx和by分在一组，用乘除法和分配法互相匹配，马上就解除了困难。
同样，这道题也可以做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几个例子:
1.5ax+5bx+3ay+3by
解:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
注意:不同的系数可以分解成组。如上，把5ax和5bx看成一个整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律很容易求解。
2.x^3-x^2+x-1
解:=(x ^ 3-x ^ 2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二分法，用公因子法提出x2，然后就很容易解决了。
3.x2-x-y2-y
解:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
用二分法，然后用公式a2-b2=(a+b)(a-b)，然后巧解。
(4)交叉乘法
这种方法有两种情况。
①x？+(p+q)x+pq型公式的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数为1；常数项是两个数的乘积；线性项的系数是常数项的两个因子之和。所以我们可以直接分解一些系数为1: x的二次三项式因子？+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
②kx？+mx+n型公式的因式分解
如果有k=ac，n=bd，有ad+bc=m，那么kx？+mx+n=(ax+b)(cx+d)。
图表如下:
×
c d
例如，因为
1 -3
×
7 2
-3× 7 =-21，1× 2 = 2，以及2-21=-19，
所以7x？-19x-6=(7x+2)(x-3)。
交叉相乘的公式:头尾分解，交叉相乘，求和。
5]拆分和添加项目的方法
这种方法是指把一个多项式的一项拆开或把两项(或几项)彼此相反的项填满，使原公式适合于通过提高公因式法、利用公式法或分组分解法进行分解。需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。
比如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
= BC(c-a)+ca(c-a)+BC(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)。
[6]匹配方法
对于一些不能用公式法的多项式，可以用完全平坦的方式拟合，然后用平方差公式进行因式分解。这种方法称为匹配法。属于拆项补项法的特例。还需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。
比如:x？+3x-40
=x？+3倍+2.25-42.25
=(x+1.5)？-(6.5)?
=(x+8)(x-5)。
阶乘定理的应用。
对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，则f(x)必须包含因子x-a .
比如:f(x)=x？+5x+6，f(-2)=0，那么就可以确定x+2就是X？+5x+6的系数。(其实x？+5x+6=(x+2)(x+3)。)
注:1。对于系数全为整数的多项式，若x = q/p(p，q为互质整数时)，多项式值为零，则q为常数项除数，p为最高次的系数除数；
2.对于多项式f (a) = 0，其中b是最高次的系数，c是常数项，则a是c/b除数。
替代法。
有时候在因式分解的时候，可以选择多项式的相同部分，用另一个未知数替换，然后因式分解，最后再转换回来。这种方法叫做替代法。
注意:换完人民币别忘了还。
例如，在分解(x？+x+1)(x？+x+2)-12，可以使y=x？那么+x
原公式=(y+1)(y+2)-12。
=y？+3y+2-12=y？+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x？+x+5)(x？+x-2)
=(x？+x+5)(x+2)(x-1)。
你也可以看到右边的图片。
(9)寻根法
设多项式f(x)=0，求其根为x1，x2，x3，...xn，则该多项式可分解为f (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)...(x-xn)。
比如分解2x 4+7x 3-2x 2-13x+6时，设2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 = 0。
通过综合除法，方程的根是0.5，-3，-2，1。
所以2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。
⑽形象法
设y=f(x)，作函数y=f(x)的像，求函数像与X轴的交点，x1，x2，x3，…xn，...Xn，则该多项式可因式分解为f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2)。
与⑼法相比，它可以避免求解方程的复杂性，但不够精确。
比如x ^ 3+2x ^ 2-5x-6分解时，可以使y = x ^ 3；+2x^2 5x 6。
作其像，与X轴的交点为-3，-1，2。
那么x3+2x 2-5x-6 =(x+1)(x+3)(x-2)。
⑾主成分法
首先选择一个字母作为主元素，然后按照字母的个数从高到低排列项目，再进行因式分解。
⑿特殊价值法
将2或10代入X，求出数P，将数P分解为质因数，适当组合质因数，将组合后的各因数写成2或10的和与差，将2或10化简为X，从而得到因式分解。
比如分解x 3+9x 2+23x+15时，设x=2，那么
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
105分解成三个质因数的乘积，即105 = 3× 5× 7。
注意多项式中最高项的系数是1，而3，5，7分别是x+1，x+3，x+5，当x=2时，
那么x 3+9x 2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后为真。
[13]待定系数法
首先判断因式分解因子的形式，然后设置相应代数表达式的字母系数，求出字母系数，从而分解多项式因子。
比如分解x 4-x 3-5x 2-6x-4时，分析表明这个多项式没有一次因子，所以只能分解成两个二次因子。
所以设x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+ax+b)(x2+CX+d)。
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
因此，a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4。
解是a=1，b=1，c=-2，d =-4。
那么x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+x+1)(x2-2x-4)。
你也可以看到右边的图片。
[14]双交叉乘法。
双叉乘法属于因式分解的一种，类似于叉乘法。
双交叉乘法是二元二次六元组，初始公式如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x和y是未知数，其余是常数。
用一个例子来说明如何使用。
举例:分解因子:x2+5xy+6y 2+8x+18y+12。
解析:这是一个二次六项公式，可以考虑用双叉乘法进行因式分解。
解决方法:图如下，把所有号码交叉连接就可以了。
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原始公式= (x+2y+2) (x+3y+6)。
双交叉乘法包括以下步骤:
(1)先用十字乘法分解二次项，如十字乘法图(1)中的x2+5xy+6y ^ 2 =(x+2y)(x+3y)；
②根据一个字母(如Y)的第一个系数给常数项打分。比如交叉相乘的图②中的6y？+18y+12 =(2y+2)(3y+6)；
③按另一个字母(如X)的第一个系数查，如十字乘法图③。这一步不能省略，否则容易出错。
[编辑本段]多项式因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式项有公因子，那么先提公因子；
(2)如果没有公因子，那就尝试用公式和交叉乘法来分解；
(3)如果以上方法无法分解，可以尝试分组、拆分、添加条目的方式进行分解；
(4)必须进行因式分解，直到每个多项式因式分解都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:“先看有没有公因数，再看有没有公式。试试十字乘，分组分解要合适。”
几个例子
1.分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。
解:原公式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)。
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x 2(1+y)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)。
2.验证:对于任意实数x，y，下面公式的值不会是33:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原公式=(x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2+15x ^ 2y ^ 3)+(4xy ^ 4+12y ^ 5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)。
(因式分解过程也可以在右图中看到。)
当y=0时，原公式= x 5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，33不能分成四个以上不同因子的乘积，所以原命题成立。
3.△ ABC的三边A、B、C有如下关系:-C 2+A 2+2AB-2BC = 0。证明这个三角形是等腰三角形。
解析:此题本质上是对关系等号左边的多项式进行因式分解。
证明:∫-C2+a2+2ab-2bc = 0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a，B，C是△ABC的三条边，
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0，
即a = c且△ABC是等腰三角形。
4.因式分解-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。
解:-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
【编辑此段】因式分解四注:
因式分解中的四点，可以用四句话概括如下:第一项为负且常为负，每一项为“公”且第一项为“公”，某一项为1，括号内分为“底”。这里有一些例子供你参考。
示例1因式分解-A2-B2+2AB+4。
解:-A2-B2+2AB+4 =-(A2-2AB+B2-4)=-(A-B+2)(A-B-2)
这里的“负”是“负号”的意思。如果多项式的第一项为负，一般需要提出一个负号，使括号中第一项的系数为正。防止学生出现-9 x2+4 y2 =(-3x)2-(2Y)2 =(-3x+2Y)(-3x-2Y)=(3x-2Y)等错误。
例2因式分解-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1。解:-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny3 x2 y2+1)。
“公”在这里的意思是“公因数”。如果多项式的每一项都包含一个公因子，首先提取这个公因子，然后进一步分解这个因子；这里的“1”是指当多项式的一整项都是公因式时，先提出这个公因式，不要漏掉括号里的1。
必须进行因式分解，直到每个多项式因子都不能再分解为止。也就是分解到最后，而不是半途而废。其中包含的公因子要一次性“干净”，不留“尾巴”，每个括号中的多项式不能再分解。防止学生出现4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2+1)(4x 2-9)等错误。
检查时应注意:
当对实数没有解释时，一般只对有理数解释就够了。
从这个角度来说，因式分解中的四个注意贯穿了因式分解的四个基本方法，与因式分解的四个步骤或一般思维顺序的四句话是一脉相承的:“先看有没有公因式，再看能不能成立一个公式，试试十字乘法，群分解要合适”。