找一个排列组合的问题

(1)如果从这些书中任选一本，有多少种不同的方式？

(2)如果从这些书中拿一本数学书，一本语文书，一本英语书，有多少种不同的方式？

(3)如果从这些书中取出两本不同题材的书，有多少种不同的方式？

解决方法:(1)因为可以从书架上拿到一本书，所以要分类。因为有三种书，你可以把它们分成三类。那么根据加法原理，你得到的书的数量是:3+5+6=14。

(2)从书架上取1数学书、语文书、英语书需要分三步完成。根据乘法原理，不同方法的数量为3×5×6=90(种)。

(3)如从书架上取两本不同科目的书，有三种情况(几种语言1本，几种英语1本，英语1本)，每种情况需要分两步完成。所以我们要根据加法和乘法两个原理来计算* *得到的不同方法的个数:

3×5+3×6+5×6=63(种)。

例2。给定两个集合A = {1，2，3}和B={a，B，c，d，e}，从A到B可以建立多少种不同的映射？

解析:首先要明确“此事指映射，映射是什么？”即对于A中的每一个元素，b中都有一个唯一的元素。”

既然A里有三个要素，那就要在B里找个家，三个要素都要完成。所以要分三步走。当这三个步骤都完成后，就建立了一个地图。根据乘法原理，* * *可以建立的不同图谱数量为:5×5×5=53(种)。

2.排列数和组合数的两个公式

排列数和组合数公式有两种形式，一种是连积形式，主要用于计算；第二种是阶乘的形式，主要用于简化和证明。

连积的形式阶乘形式

等式成立。

点评:这是一个排列数方程的证明问题，采用阶乘的商的形式，利用阶乘的性质:n！(n+1)=(n+1)！可以简化变形过程。

例4。解方程

解:原方程可简化为:

解是x=3。

点评:在求解由排列数和组合数给出的方程时，要注意排列数和组合数定义中提取元素与被提取元素的关系以及在去掉符号前都是自然数的重要限制。

3.排列组合的应用问题

在以往的高考数学题中，排列组合题主要是应用题。一般会附加一定的限制；这些应用题的内容和场景多种多样，解决的方法还是有规律可循的。常用的方法有:一般方法和特殊方法。

一般方法有:直接法和间接法。

(1)在直接法中分为两类。如果问题可以分成互斥的几类，根据加法原理，可以用分类；如果问题考虑顺序，根据乘法原理，可以用占领法。

(2)间接法一般是通过排除问题的反面来解决问题。

特殊方法:

(1)特殊元素位置:优先考虑有特殊要求的元素或位置，然后再考虑其他元素或位置。

(2)装订法:某些元素必须排列在一起，用“装订法”紧密结合粘成一组，组内组外分开排列。

(3)内插法:有些元素必须用“内插法”分离排列在一起，不需要分离的要排列在空缺的位置上。

(4)其他方法。

例5.7人组成一条线，找出符合下列要求的不同排列方式的种数。

(1)甲排中段；(2) A不在两端排列；(3) A和B相邻；

(4) A在B的左边(不需要相邻)；(5)甲、乙、丙三方；

(6)甲、乙、丙三方不相邻。

解决方案:(1)A排中间属于“特殊位置”，优先考虑安置。站法只有一种，其他六个人随机排列，所以有:1×=720种不同排列。

(2)甲方不安排两头，也属于“特殊位置”的问题。优先安置甲方在五个中间位置的任意一个位置都有种子，其余六个人可以随意安排种子，所以* * *有= 3600种不同的安排方式。

(3)甲乙双方相邻，属于“捆绑方式”。甲、乙组合成一个“元素”，其他5个人***6个元素随机排列，然后排列在甲、乙组，所以***有= 1400个不同的排列。

(4) A在B的左边..考虑到在7人一排形成的所有排列中，“A在B的左侧”和“A在B的右侧”的排列是一一对应的，不需要邻接时，每种排列占所有排列的一半，所以A在B的左侧有=2520种不同的排列。

(5)甲、乙、丙并列也属于某些要素必须在一起的排列。利用“绑定法”，先将甲、乙、丙组合成一个“元素”，其他4人***5个“元素”随机排列。现在甲、乙、丙三方互换位置，所以有=720种不同的排列。

(6)甲、乙、丙三方不相邻，属于部分要素不得在一起的单独安排。用“插空”的方法，把甲、乙、丙三方之外的四个人排成一排，在左、右、每两个人之间形成五个“空”。然后在三个“空格”里插入A、B、C，于是* * *有了。

=1440不同排列。

例6。用0，1，2，3，4，5这六个数字组成一个五位不重复的数字，分别计算以下几类的数字:

(1)奇数；(2)5的倍数；(3)大于20300的数字；(4)不包含数字0的数字和1，2不相邻。

解法:(1)奇数:要得到一个5位数的奇数，分三步。第一步，考虑到位数必须是奇数，从1，3，5中选择一个数来排列位数。第二步，考虑第一位不能是0，在剩下的四个不为0的数字中选择一个排在第一位。

第三步:从剩下的4个数中选择3个数，排在3个数的中间。根据乘法原理，* * *有=388(数字)。

(2)5∶0的倍数用于分类。

第一类:如果0是一个位，它将有=120。

第二类:0不是位，就是5是位，那么=96。

那么* * *有这样一个数:=216(个)。

(3)大于20300的五位数可分为三类:

第一类:3 xxxx、4 xxxx、5 xxxx

第二类:21xxx，23xxx，24xxx，25xxx

第三类:203xx，204xx，205xx，带一个，

所以，大于20300的五位数* * *为:=474(个)。

(4)不含数字0的数字和1，2不相邻:分两步完成。第一步，3、4、5三个数字排成一排；第二步，1和2被插入到四个“空白”的两个位置，所以* * *有=72个没有数字0的五位数，1和2不相邻。

例7。一条直线与一个圆分开。直线上的六个点是A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上的四个点是B1，B2，B3，B4。最多能得到多少条直线？至少有多少人？

解:当得到的直线最多时，也就是没有三点的直线可以分为三类:

第一类是连接已知直线上的一点和圆上的一点的直线个数= 24；

第二类是圆上任意两点取直线的个数= 6；

第三类是已知直线有1条，所以数量最多的直线数是n 1 = +++1 = 31(线)。

当得到的直线最少，即重叠的直线最多时，用排除法减去重叠的字数比较方便，重叠的直线是圆上两点连接的直线。剔除重复的，就是最小直线数:N2 = n 1-2 = 31-12 = 19(线)。