华杯比赛冠军

(2006.4.15)

示例1。当两个正整数相加时，得到一个位数相同的两位数。当这两个数相乘时，得到一个位数相同的三位数。找到原来的两个数。

因为这两个数之和是两位数，所以不超过两位数。因为他们乘积的三位数相同，所以他们的乘积可以写成111t(1≤t≤9，t为整数)。

111t = 37× 3t。所以这两个数字中肯定有一个是37或者74。

如果一个数是37，另一个数是18；如果一个数字是74，测试后另一个数字是3，那么就填37和18或者74和3。

例2。求素数P，使P2+71的正除数不超过10。

当解P = 2时，P2+71 = 75 = 3× 52，D (75) = 2× 3 = 6 < 10，所以P = 2就是这个问题的解；

当P = 3时，P2+71 = 80 = 24× 5，D (80) = 5× 2 = 10 ≤ 10，所以P = 3就是这个问题的解；

如果素数p > 3，那么p2≡1(mod 8)？P2+71 ≡ 0 (mod 8)，所以23 | P2+71；

p2≡1(模3)？P2+710(mod 3)，所以3 | P2+71。

因此，P2+71 = 2α× 3β× t，其中α，β∈N*，α ≥ 3。

当α = 3，β = 1时，若T有大于3的素因子，则D (P2+71) ≥ 4× 2× 2，所以T = 1。这个时候没有质数P来满足题的意思；

当α = 4，β = 1时，必然有T = 1，此时有D (P2+71) ≥ 5× 2 = 10。这时候就没有质数P来满足题的意思了。

当α≥4，β≥1，且等号不同时，D (P2+71) > 10。

综上所述，解是p = 2，3。

例3。将1到51的51整数分成17组，每组3个，每组数之和相等。

解:1+2+3+…+51 = 52×51÷2 = 26×51；所以每组三个数之和= 26× 51 ÷ 17 = 78。

数字1-51分为三组，1-17，18-34为第二组，35-51为第三组。

如果第一组可以按行数减少2的方式排列，第二组可以按行数增加1的方式排列，则满足要求的数组可以放电:

17 15 13 11 9 7 5 3 1 16 14 12 10 8 6 4 2

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

43 44 45 46 47 48 49 50 51 35 36 37 38 39 40 41 42

4.2006100200650+95的整数部分的后两位是什么？

解:2006100200650+95 = 2006100-910200650+95 =(200650-95)+966。

=200650-95+910200650+95.

但是95的后两位是49，200650的后两位和650的一样。

计算61，62，63的后两位数，...并分别得到6，36，16，96，76，56；36;16;96;76;也就是650的后两位会循环，所以650的后两位是76，所以200650-95的后两位是27。

因此，原公式整数部分的后两位是27。

例5。(1)在1，2，3，4，…，2005，2006的2006个平方前各加一个适当的“+”或“-”，使代数和取最小的非负整数值。最小非负整数值是多少？试着证明你的结论？

⑵在12、22、32、42、…、20052、20062这2006个正方形的每一个前面加一个适当的“+”或“-”，使它们的代数和取最小的非负整数值。这个最小非负整数值是什么？试着证明你的结论？

解法(1)因为这个2006年的数中有1003个奇数和1003个偶数，所以它的和是奇数，从而任意改变一些数之前的符号，它的代数和的奇偶性不变，所以无论你怎么改变这些数之前的符号，都不能使它成为偶数，所以这个和不能等于0，所以要求的最小非负和是65438+。

而n-(n+1)-(n+2)+(n+3) = 0，所以每4个数可以从3开始分组，每组中的1和4个数前面加“+”，第2和第3个数前面加“-”，所以这个2004个数的个数是。

因此，最小非负和为1。

如上所述，这个和不可能等于0。

N2-(n+1)2-(n+2)2+(n+3)2 = 4，如果在八个连续自然数的平方和中，1，4，6，7前面加“+”，2，3，5，8前面加“+”。

2006 = 8× 250+6.如果我们把72的8个数分组，按照上面的方法排列“+”和“-”的数，这些数的代数和(***250组)就是0。

12+22+32+42+52+62 = 91，且(91-1) ÷ 2 = 45，且4+16+25 = 45，所以只要。

因此，我们可以在这2006个正方形前面排列“+、-”号，使它们的代数和等于1。

所以这个最小非负整数值是1。

例6。(1)能否找到16个互不相同的整数，使得任意9个整数之和不能被9整除？

⑵17互不相同的正整数能满足这个要求吗？

解法:比如其中8个被9整除就是1，另外8个被9整除。这16的数没有一个能被9整除。

任意选五个数，必然有三个数的和是3的倍数，余数除以3只能是1，2，0。如果余数中有三种2都被3除，则每种余数之和都是3的倍数。如果只有两种余数被三除，鸽子洞原理知道一定有三个数被三除。

所以17这个数必须组成5组，每组有3个数，它的和是3的倍数。

设这五组数之和为3a，3b，3c，3d，3e。考虑到A、B、C、D、E这五个数，来自上交所，三个数之和一定是3的倍数，所以设a+b+c是3的倍数。那么3a+3b+3c就是9的倍数。此时，设总和为3a、3b、3c的9个数。

例7。给定m，n，k为正整数，m≥n≥k，2m+2n-2k为100的倍数，求m+n-k的最小值.

设2m+2n-2k = 100t (t ∈ n)，若n=k，2m=100t，不可能，∴n>；k.

∴ 2k(2m-k+2n-k-1)=22？52t..2m-k+2n-k-1是奇数，∴ k ≥ 2。

设m-k = p，n-k = q，(0

∴ 2p+2q-1 = 25t，t是奇数。∴ 2p+2q的最后两位数是26或76，所以p & gt4(∵24+23 & lt；26)、p、q值测试:

p 5 6 7 8 9 10

2p 32 64 128 256 512 1024

2q的可能值为12，62 48，98 20+50k，k=0，1，2，3，4 14+50k，k=0，1，2，...，9 ^ 2+50k，k=0。

当p=9时，有一个解q=6，这样m+n-k = p+q+k = 17；再论p & lt15，p=10，q=1使得M+N-K = P+Q+K = 13。和p & gtP+q+k >在10；13.

∴最小值是13。

例8。将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数写在立方体的八个顶点上，在每条边的中点记下每条边两端的两个数之和，* *得到12和。这12和只能有五个不同的值吗？只能有四种不同的值吗？

分析为了解决这个问题，考虑可能写在与一个顶点相邻的三条边的中点上的数:

从同一个顶点开始写在三条边中点的三个数都不一样。因为从这个顶点开始的三条边的另一端写的三个数是互不相同的。

3、4、5、6、7、8、9这7个数字中的3个，可以写在与1相邻的3条边的中点；

9，10，11，12，13，14，15这七个数字中的三个可能写在与8相邻的三条边的中点；

现在考虑最小的数字1和最大的数字8。写在它们相邻边中点的数字只有一个是相同的，就是9。换句话说，出现在1和8相邻边上的数字，除了9，不可能是相同的。而且，为了让9以一个端点出现在这两条边的中点，1和8必须是同一条边的两个端点。如果1和8不是同一条边的两个端点，则有六条相邻的边，写在这六条边的中点的数有六个不同的数。所以写在所有边中点的数字不会小于6。但是，只有当1和8是同一条边的两个端点时，它们的相邻边上才会出现五个不同的数字。

因此，写在边缘中点的数字应该只有五个不同的值。你必须把1和8放在同一条边的两端。这时，如果把与1相邻的数做得尽可能大，把与8相邻的数做得尽可能小。每条边的中点可能只出现五个数字。下图中的排列是一种令人满意的填充方法。

不同的价值观

7,8,9,10,11, 1 6 2 8 7 4 5 3

从上面的分析来看，仅仅用四个不同的值来填充边中点的数字是不可能的。

例9。密码共有八组，都是由三个字母组成，代表一个三位数，同一个字母代表同一个数字，不同的字母代表不同的数字。它们是:

WNX RWQ SXW XNS太平洋标准时间NXY QWN TSX

已知四个密码分别代表571，439，286，837。

你能破译这八组密码吗？

解法:给出的四组数有12位数，都有1-9，其中3重复两次，都是十位数；7重复两次，在十个或一个地方；8重复两次，以百和十为单位。第四阵列837中的每个数字都重复。

在八组密码中，十位数有四个字母:N，W，X，S，所以其中一定有一个是3。

(1)设n = 3，那么837一定是WNX或XNS:

(1)如果w = 8，x = 7，那么571没有对应的密码群，所以不可能；

(2)如果X = 8，S = 7，那么286没有对应的密码群，所以不可能；

⑵设w = 3，则837是RWQ或QWN，

(1)如果q = 7，571没有对应的密码组，

(2)如果q = 8，286没有对应的密码群，所以不可能；

⑶设x = 3，则SXW=837或NXY=837，

①因为Y只出现1次，与7反复矛盾，所以NXY=837是不可能的；

②如果SXW=837，q = 1，p = 2，x = 3，n = 4，r = 5，t = 6，w = 7，s = 8，y = 9可以逐步推导出来。八组密码如下。

743 571 837 348 286 439 174 683

示例10。(1)能否将数字1，2，3，…，13排列在一个圆上，使任意两个相邻位置的数字之差(大减)为5或8？

(2)能否将数字1，2，3，…，13排列在一个圆上，使任意两个相邻位置的数字之差(大减)为3，4或5？

解:(1) 1，6，11，3，8，13，5，10，2，7，12，4，9，即排列完毕；

(2)由于1，2，3，11，12，13这六个数字不能相邻，所以它们排成一个圆后，每两个数字之间至少要插入1，也就是说，剩下的七个数字要插入这六个空隙中。因为4只能和这六个数字在一起。10只能与这六个数中的13相邻，所以4和10不能单独插入一个缺口。这样，其他5个数必须单独插入一个缺口，1缺口只能插入4和10 * *，但这两个数不能相邻，即不能完成这种排列。