衍生真题7

分析，本题考查齐次函数和欧拉定理。

据已知:

f(tx,ty)=(t^n)f(x,y)

在上式中导出t，然后:

[?f/？(tx)] [d(tx)/dt]+[？f/？(ty)][d(ty)/dt]= n[t^(n-1)]f(x,y)

[?f/？(tx)] x+[？f/？y = n[t^(n-1)]f(x,y)

因为f(x，y)有二阶偏导数，因此:

为了找到上述公式关于t的导数，然后:

{[f/？(tx)？] [d(tx)/dt]+[f/？(tx)？(ty)] [d(ty)/dt]} x

+{[f/？(ty)？(tx)] [d(tx)/dt]+[f/？(ty)？][d(ty)/dt]} y = n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y

因为二阶偏导数是连续的，混合偏导数是相等的，所以:

【f/？(tx)？] x？+ [f/？(tx)？(ty)] yx +[f/？(ty)？(tx)] xy + [f/？(ty)？] y？

=n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)

x？【f/？(tx)？] + 2xy[f/？(tx)？(ty)]+y？【f/？(ty)？] = n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)

因为上述公式对任何t都成立，设t=1，则:

x？(f/？x？)+ 2xy(f/？x？y)+y？(f/？y？)= n(n-1)f(x，y)

完成证书！