2021北京中考数学试卷难度点评
2021北京中考试卷点评数学试题命制以义务教育数学课程标准(2011版)为依据，坚持稳中求进的指导方针，落实立德树人的根本任务，在内容和能力考查上做到“三讲”“四考”，注重发挥教育功能。同时，结合中学教学实践，围绕主要知识、核心能力、基本数学思想和基本活动经验，突出学科本质，考查数学思维，进一步引导教学回归课堂和教材，实现教考良性互动。
第一，结合学科特点，发挥育人作用
功能，落实立德庶人的根本任务
数学结合自身学科特点，选择合适的材料，将社会主义核心价值观自然融入试题，发挥试题的教育功能。
如第二题，以教育扶贫为背景，介绍了2014至2018年中央财政共投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金的情况，让学生直观感受到学习环境的改善离不开国家的政策保障和财政的大力投入。
例如，在问题20中，根据《淮南子·田字训》中确定东西方向的方法，阐述了在中国古代，对天文学和其他方面的深入研究很早就开始了，这显示了我们古代人民的智慧。以数学文化为载体，引导学生运用自己的数学知识解决简单的实际问题，达到数学文化育人的目的。
二、立足“四基”，考查骨干、
反思思考，学以致用。
2021数学的试卷特点和整体风格保持稳定。试卷整体设计以“四基础”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)为标准，考查对知识本质的理解，考查学生的数学思维，考查学生从数学角度思考问题和运用数学知识解决实际问题的能力。
1.注重“四基”要求，体现数学基础。
试卷设计和试题设计注重对三大知识块(数与代数、图形与几何、统计与概率)基础知识的考查，在考试过程中突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。
比如尺子作图，要求学生不仅要掌握技能操作的程序和步骤，还要理解其中蕴含的数学原理。在第20题中，学生首先要根据题目的要求，运用适当的方法准确作图，然后运用所掌握的数学原理解释直尺作图的作图原理，并完成证明。
2.关注知识形成过程，实现学科思想。
数学学习的重要目标之一是让学生体验知识形成、发展和应用的过程，积累活动经验，理解知识的本质，领悟数学思想。比如统计学教学，学生要经历一个完整的统计过程，从数据中提取信息，并利用这些信息来解释问题。今年的统计学专题在考察数据的收集、整理和描述的基础上，侧重于对数据的分析和对数据中提供的信息的解读，考察学生对中位数的含义、中位数和平均数在分析数据分布中的作用以及对样本估计的整体认识，反映学生获取有效信息和进行定量分析的意识和能力。引导教学要注重数学问题的本质，使学生在积累统计活动经验的基础上，加深对统计思想和方法的理解和应用。
再如第8题，以“矩形两邻边的长度和面积”为背景，考查函数是研究运动和变化的数学模型。它来源于并服务于现实，从实际问题中抽象出函数的相关概念，运用函数的知识解决实际问题。更重要的是，从图形和数量两个角度及其相互关系，突出了函数的本质特征是反映事物之间的联系和变化。这既是函数教学的主线，也是函数学习的主线。让学生在建模和解决实际问题的过程中加深对函数概念和思维方法的理解。
3.注重思维质量，充分发挥教材价值。
数学思维的考查主要体现在学生对数学的认识、理解和理解过程中。同时，数学思维的考查不是空洞的，而是基于教材设计，在充分理解和挖掘教材的基础上进行教学，从而考查学生的思维品质。
比如第22题，此题主要从运动变化的角度，结合功能图像，考察学生从特殊到一般，从直观到抽象，从感性到理性的思维过程。比如26题，结合二次函数图像的对称性，分析满足条件的函数图像的特征，探究对称轴的范围。这些题的设计思路都来源于课堂教学和课本。
比如27题，测试重点是学生在解决一个综合问题的过程中，通过操作、观察、猜测得出结论，然后通过演绎推理证明结论。测试学生在猜、试等数学活动中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。题目从动作变化和图形变化的角度，探索了教材中知识的内在联系，一定程度上综合了基础知识和方法，丰富了试题的背景，为学生提供了多角度思考的机会，也为学生提供了展示自我的舞台。试题生命系统思想源于教材，指导教学思考试题与教材内容的关系。
比如第28题，以学生学习的重点知识之一——旋转为主要背景，考察学生的数学素养。试题以圆和旋转为载体，定义“相关线段”。先研究特殊的“相关线段”，再研究一类“相关线段”的特征，再结合图形的运动变化，从“正”和“负”两个角度研究“相关线段”和相关参数，展示学习新知识的一般过程。这种试题不局限于知识本身的考查，而是通过创设适宜的情境，以实际操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生在数学活动中体验探索和解决问题的一般过程，积累经验，是数学素养的体现。
4.注重实践能力，体现应用价值。
现实生活中有很多与数量有关的问题。通过建立数学模型，用数学方法求解，体现数学的应用价值。如16题，以“两条生产线的加工时间”为背景，考查学生运用所学知识分析和解决实际问题的能力，让学生在日常生活中养成用数学的眼光观察世界、用数学知识解决问题的习惯，激发学生学习数学的兴趣，实现数学的应用价值。
第三，深化考试内容改革，
正面引导教学，
减轻学生过重的学业负担
1.以课程标准为纲，从教材中挖掘或选取素材，进一步引导教学回归课堂，回归教材。
根据课程标准的知识要求和能力要求，对第28题进行排序，问题为“不超标”，以指导课堂教学紧密按照课程标准的要求实施教学。根据教材的表述，第28道试题的设计和提问符合学生的心理特点，试题“不挖坑”，进一步引导课堂回归教材。从题量上看，第28题约70%的题来自课本，其中第4题、第6题、第8题和第13题是课本或课后练习的例题。
2.考题注重对主要知识和关键能力的考查，加强对数学思维的考查，进一步引导课堂回归学科本质。
试卷中的第8题、第16题、第23题、第25-28题都是以主要知识为载体，考察积累的活动经验，以及在知识形成、发展和应用过程中对知识本质的理解和对数学思想的感悟。“机械刷”对这些题是无效的，在指导课堂教学时要注重知识的本质和思维方法的灵活运用。
3.试题的设计和提问符合教学实际和学生的心理特点，试题中没有“难怪”，引导教学“不急于跑”
全卷28号既没有高中知识分散的题型，也没有初中数学竞赛改编的题型。它考察的不是高深的学习知识和竞赛中非常规的解题技巧，而是基础知识的扎实程度，在有效的数学活动中积累经验的厚度，理解数学本质的深度和对数学思想的感悟。引导教学回归符合学生认知特点和学科发展规律的正常课堂教学，为中学生“减负”营造良好的教育生态，促进素质教育的深入实施，帮助学生健康成长。
总之，2021北京市初中学业水平考试试卷面向全体学生，以学生为中心，巩固了几年来中考内容改革的成果，积极探索初中学业水平考试改革的新模式，坚持稳中求进的总原则，充分发挥试题的教育功能， 坚持创设符合学生特点的新情景，考查主体知识、核心能力和基本思想，考查发现问题、分析问题、解决问题的能力，努力构建培养学生德、智、体、美、劳全面发展的考试内容体系，培养有理想、有技能、有担当的新人。
2021北京市初中学业水平考试
数学试题的评价
2021年北京市初中学业水平考试数学试卷(以下简称“京卷”)以《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《课程标准》)为基础，既实现了水平考试的功能，又体现了选拔的功能，符合“两考合一”的要求。北京卷在试卷结构、题型分布、分值设置等方面保持稳定，体现了“稳中求进、稳中优先”的特点。
一、根据《课程标准》
突出数学课程的特色
北京卷根据《课程标准》的要求，以学生熟悉的课本话题或内容创设情境，有利于减轻学生过重的课业负担。比如第四题的“多边形内角和”问题，第六题的“抛两枚硬币”问题，第16题的“企业生产线加工”问题。
北京论文引导学生关注现实社会生活，用数学方法解决问题。比如第25题，背景是“邮政企业收入”，考察学生对统计图信息的阅读，以及对统计数据的解读和运用。问题20，背景是研究《淮南子天文训练》中记载的确定东西方向的方法。学生在阅读分析推理的同时感受数学文化的魅力，展现数学的教育价值和科学价值。
第二，全面检查“四个基本”
落实学术水平的要求
北京卷紧扣课程标准和教材，注重对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。各知识领域的分值设计符合课程标准的要求，大部分题目的创设与教材密切相关。梯度设计细致合理，符合初中生的认知规律和水平，体现了初中学业水平考试的要求。与2020年北京卷相比，在题型和题型上保持了稳定。
问题2、3、4、9和10考查基本概念和性质。8、12、23(1)、26(1)题考查初中三个函数的概念、图像和性质，突出了对主知识的考查，既考查基础知识，又注重知识的整体性和知识之间的联系。11，18，19题实现以不同知识为载体的计算能力的考查。问题23:借助函数图像，寻找运动变化中的临界状态，体现了数形结合的思维方法。
北京卷的大部分题目都是以大家熟悉的形式呈现，起点低，容易理解，为学生的思考提供了方向。比如第25题和2018的第25题差不多，第26题(1)和第27题(1)也是基础题，给不同的同学提供了不同的展示机会。
与2020年北京卷相比，函数探究的题型减少，一元二次方程的题型由填空题调整为解的题型，填空题增加了对分式方程解的考查。充分体现了知识考查的基础性、综合性、全面性。
第三，注意思考的深度
体现试卷选择的功能
北京卷重在考查思维广度，试题设计体现高质量理解、分析和解决问题的能力。北京卷以学科主要知识为基础，注重对学科性质的考查，体现了选卷功能。
16题创设加工同一种原料的生产线的现实情境，考查学生对用文字和符号描述的数学条件的阅读理解能力，以及对题目中信息的提取、加工和处理能力，建立恰当的数学模型，鼓励学生用多样化的方法和不同的数学模型分析和解决实际问题，考查模型思想和应用意识。
问题26来自教材和课堂教学。通过对二次函数的概念、图像和基本性质的考察，引导学生结合二次函数图像的对称性，运用数形结合的方法进行推理，重点考查学生运用初、中学积累的主要知识和学习经验进行思维和推理的能力。学生可以通过对问题的深入分析选择不同的方法，合理减少了计算量，体现了对学生能力和素养的考查要求，实现了试题的选择功能。
问题27延续了之前北京卷的风格，考察学生在问题情境中对基本几何图形及其性质的识别、分析和提炼。通过对图形运动变化全过程的绘制、观察和分析，来猜测和探索其中所包含的几何图形数量之间的关系和规律，从而考察学生的几何直觉、对基本图形中常见辅助线的认知以及对一般方法的掌握和逻辑推理能力。
28题作为北京一直坚持的特色试题，坚持概念学习的过程性考查。它以学生学习的关键知识之一的旋转为主要背景，定义“相关线段”，以实际操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生体验学习和研究新知识的一般过程，从特殊情况入手，再研究一类“相关线段”的特点，探索解决问题，现场学习经验。
与2020年相比，26、27、28号试题在考查方向和方式上保持稳定，注重思考深度，体现了试卷选择的功能。
第四，注意情境的创设
实现教育功能
北京卷进一步丰富试题选择范围，创设丰富的现实文化情境，以学生个人生活和社会生活为背景设计试题，体现数学的多种应用，弥合数学知识内容与提出问题之间的差距，引导学生在用数学知识解决问题的过程中真正感受到数学的应用价值。问题6以学生非常熟悉的抛硬币实验为基础，考察学生对概率含义的理解和用枚举法求概率的方法；第8题延续2020年北京卷的命题，选取教材中的问题情境，研究具有一定周长的矩形的两相邻边、面积和一边的关系，考察学生对函数模型的掌握程度。16题以工业生产中的配送加工业务问题为背景，引导学生用模型思维解决问题，学生需要在理解题意的基础上做出理性的分析判断；第25题以两个城市的邮政企业收入问题为背景，考察平均数和中位数的统计意义，用样本估计人口等数据分析的概念也增强了学生分析和解决实际问题的能力。
北京卷全面贯彻以德育人的根本任务，体现正确的育人导向，促进和推动学生全面发展和健康成长，发展素质教育。第二题立足于扶贫中的教育扶贫，考查科学记谱知识，引导考生珍爱祖国，关注社会，培养爱国爱党爱社会主义，自觉肩负起为中华民族伟大复兴而奋斗的使命。第20题利用《淮南训》中记载的利用竿影确定东西方向的方法，设计尺子作图和简单几何推理的问题，实现教育与文化教育，是新时期社会主义核心价值观教育的必然要求，增强文化自信。
北京卷2021在命题上体现了平滑过渡的特点，加强了基础试题的比重，保持了较难问题的思考深度，对命题导向把握得当。试题在创设情境、选择材料、引导价值观方面起到了很好的作用。试题与国家的发展趋势相结合，与北京的发展相结合，与教材内容紧密联系。引导学生在新问题、新情况下学以致用，对课堂教学起到了很好的指导作用。