边坡平面滑动失稳的尖点突变模型

设滑动面为非均匀软弱夹层，上部岩体为刚体(如图7-1)。滑面倾角θ，上部岩体垂直高度h，软弱夹层厚度h，上部岩体重量Wg (g为重力加速度)。在自重产生的滑动力作用下，岩体沿软弱夹层的蠕变位移为U。

图7-1边坡平面滑动失稳的力学模型

由于软弱夹层不同部位的应力水平、材料组成和结构不同，夹层本身可能含有多种力学性质不同的介质，如弹性脆性、应变硬化和应变软化性质。为简化分析，我们将层间介质视为由两种介质组成，即介质1具有复杂的弹脆性(如硬岩块或岩桥)或应变硬化(如硬粘土或松散砂土)性质，介质2具有应变软化性质(如图7-2所示)。

无论介质1是弹性脆性的还是应变硬化的，都会得出相同的结论。为简单起见，在下面的分析中，我们只考虑介质1的应变硬化特性。介质1和介质2的本构模型分别采用第二章的公式(2-5)和公式(2-1)。

图7-2软弱夹层中两种不同介质的本构曲线

第二，尖点突变模型

对于图7-1所示的系统，总势能是滑动面介质的应变能和滑动势能之和，即:

非线性岩土力学基础

其中lh和ls分别为应变硬化介质和应变软化介质的滑动面长度，有ls+lh=H/sinβ。假设ls和lh远大于u，在滑动过程中保持不变。如果lh？Ls，斜率可能很稳定。在下面的分析中，我们只考虑lh？ls的情况。

从v′= 0，平衡面(图7-3)可以确定为:

非线性岩土力学基础

上面的公式显然是力的平衡条件。根据平衡面的光滑性质，由V？=0，找到尖点，即

非线性岩土力学基础

很容易知道尖点处的位移值，也就是滑面应变软化介质本构曲线拐点处的位移值。

平衡面方程(7-2)在尖点处相对于状态变量值u1进行泰勒展开，截取三次项，代入变量，得到尖点突变的标准型:

x3+ax+b=0 (7-4)

其中包括:

非线性岩土力学基础

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其中Gh=G1(uh≥u1)或GH = G2 (uh < U1)。参数k是滑移面应变硬化(弹脆)介质的刚度(kh=Ghlh/h)与本构曲线拐点对应的应变软化介质的刚度绝对值(ks = {mgslsexp [(m+1)/m]}/h)的比值，称为刚度比；参数ξ与岩体的重量Wg、系统的几何尺寸和介质的力学参数有关，称为几何-力学参数。

将方程(7-6)和(7-7)代入分叉集方程，我们得到:

非线性岩土力学基础

其中β=6/(m+1)2。

如图7-3所示，三维空间的坐标分别是控制参数A和B以及状态变量X。比如从B点开始，随着控制参数的连续变化，系统的状态沿着路径B演化到B′，状态变量连续变化，没有突变(D > 0)；但从A点沿路径AA’开始，当接近折叠翼边缘时，只要控制参数稍有变化，系统状态就会突然发生变化，从折叠翼的下叶变为折叠翼的上叶。这说明系统的突变只有在穿越分岔集时才会发生。因此，方程(7-10)是平面滑动边坡突然失稳的充分必要力学条件判据。

根据公式(7-10)，当a≤0，即k≤1时，d可能等于零。因此，系统突变的必要条件是:k≤1，即系统的失稳与刚度比k有很大的相关性，由式(7-8)可知，在其他参数不变的情况下，k随m的增大而减小。m值越大(刚度比越小)，即材料的均匀性或脆性越高，越容易引起突变。

水对边坡失稳有重要影响。一般认为，除化学腐蚀外，水的作用主要有静水压力(浮力)和动水压力。从图7-4可以看出，随着岩石含水量的增加，峰后曲线的斜率变陡，峰后刚度增大，即M增大，刚度比K减小，容易导致突变和滑坡。这说明水还有更重要的作用——增加材料的均匀性(脆性)，降低刚度比。

三、两种边坡失稳模式特征

从方程(7-9)可知，方程(7-10)包含两种不同的边坡失稳模式，描述如下。

失稳模式1:当应变软化介质的承载力远大于应变硬化介质的承载力时，边坡系统的失稳将主要受应变软化介质性质的控制(图7-5(a))。此时有uh≥u1，Gh=G1。从公式(7-9)和(7-10)可以得到其不稳定性的充分必要力学条件表达式(b < 0)如下:

图7-3尖点突变模型

图7-4围压为6.9MPa时孔隙水压力对石灰岩脆韧性转变的影响[32]

非线性岩土力学基础

失稳模式二:当系统的承载力由应变软化介质和应变硬化介质共同承担时，边坡失稳将由两种介质的性质共同控制(图7-5(b))。此时有uh < U1，Gh=G2，由式(7-9)和式(7-10)可得其失稳的充要力学条件表达式(b < 0):

非线性岩土力学基础

可见，边坡失稳与应力-应变曲线特征密切相关，应变软化介质峰后曲线的斜率和应变硬化介质剪切模量在屈服点前后的变化特征决定了边坡失稳模式，表明今后应高度重视岩土介质全应力-应变曲线和刚度特征的研究。

图7-5两种不同失稳模式的τ-u曲线

从公式(7-7)可以看出，ξ越大，越容易满足b < 0的条件，导致边坡失稳。很容易证明，在其他参数相同的情况下，失稳模式1的条件比失稳模式2的条件更容易满足，说明失稳模式1更容易发生。

4.与刚性极限平衡法的比较

失稳临界位移值可由公式(2-15)确定如下:

非线性岩土力学基础

对于失稳模式1，由抗滑力与滑动力之比定义的安全系数为:

非线性岩土力学基础

当斜坡系统演化到临界点时，u=uc。将公式(7-13)和公式(7-11)代入公式(7-14)，可得到临界安全系数的表达式如下:

非线性岩土力学基础

可以看出，Kc只与刚度比k和材料均匀性指数m有关，即临界安全系数由系统的内部特性决定。

图7-6显示了不同m值时Kc随k的变化。可以看出，当k=1时，临界安全系数为固定值1。当k≠1且m < 3时，Kc随k的增大而增大；当k≠1且m≥3时，Kc随k的增大而减小，这说明刚性极限平衡法只是我们提出的方法的一个特例。虽然方程(7-2)的泰勒展开会产生误差，但不会大于10%(见方程(2-20))。比如当k=0.1，m=1时，0.86 < KC < 1.0。这从理论上说明，即使安全系数小于1的边坡也可能是稳定的。

图7-6不同M值下Kc和K的关系

五、B值的变化与蠕变三个阶段的对应关系

将式(7-8)和式(7-9)代入式(7-7)得到:

非线性岩土力学基础

可以看出，B的符号与应变软化介质本构曲线拐点处的滑动力和抗滑力的相对大小有关。B > 0、=0和< 0分别对应斜坡滑动加速度< 0(减速爬行)、=0(恒速爬行)和> 0(加速爬行)的情况(如图7-7)。

图7-7边坡蠕变变形的三个阶段与B值对应关系示意图

将平衡面投影到控制参数平面上，分岔集是一个半三次抛物线，其尖点在(0，0)。分叉集将控制参数平面分成五个分区。图7-8是每个分区对应的势函数曲线，球的位置代表系统的状态。

1)在E区，d > 0，方程(7-4)只有一个实根，对应的势函数曲线只有一个最小值，所以系统处于稳定状态，剪切位移率接近于零，不会发生滑坡。

2)在I区，d < 0，方程(7-4)有三个不相等的实根，对应的势函数曲线有两个最小值。根据b的取值，I区可进一步分为三个区域:在右半部，b > 0，坡面加速度为负值，坡面减速滑动，对应坡面蠕动曲线的减速蠕动阶段(图7-7)；在左侧，b < 0，边坡加速度为正，边坡加速滑动，对应边坡蠕变曲线的加速蠕变阶段；在I区中心的傍轴区，b≈0，边坡以近乎匀速滑动，对应于边坡蠕变曲线的恒速蠕变阶段。

图7-8 A和B的不同值的势函数V(小球代表势能曲线上斜率系统的状态)

3)在B1或B2上，D=0。方程(7-4)有三个实根，但其中两个相等。在B1上，两个较小的实根相等，在B2上，两个较大的实根相等，对应的势函数有最小值和拐点。滑坡是边坡从一个不稳定的平衡状态(在势函数曲线的拐点处)跳到另一个稳定的平衡状态(在势函数曲线的最小值处)的过程，滑坡状态变量X突然增大，系统沿路径A向左越过B1，正是这样一个过程。可以看出，路径A可以代表一个典型滑坡的完整过程:稳定-缓慢滑动(b > 0)-均匀滑动(b≈0)-加速滑动(b < 0)-急剧滑动。

4)在p点，D=0，方程(7-4)有三个相等的实根，对应的势函数曲线只有一个最小值。当系统越过P点时，状态发生跳跃，但由于两个状态相同，不会发生滑坡。

6.潘田矿区滑坡突变分析

盘罗铁矿下辖的盘田矿区于1958开始开采。1990年8月，这一地区遭受了30年一遇的强台风和暴雨袭击，促进了古滑坡的复活。南、中、北三段的裸露边坡和山坡均有不同程度的不稳定，特别是中段上部出现了长600米、宽约400米的马蹄形裂缝。专家预测潜在滑坡量约为10万m3。1997和2000年，该地区再次遭受强台风和暴雨袭击，进一步加剧了大裂缝，进一步加重了险情。为确保人民生命财产安全，保障矿区安全生产，保护国家财产不受损失，保护本地区自然环境不受破坏，潘洛铁矿自190起，与南昌有色冶金设计研究院合作成立了专门的“降雨-滑坡”观测(监测)预报组，已在观测预报工作10余年。钟铁[33]应用我们提出的边坡失稳突变理论分析方法，对潘田矿区北采区边坡的稳定性进行了评价，取得了良好的效果。应用结果介绍如下。

1)以主轴断面(图7-9)为例，计算了潜在滑动面两段的介质刚度。首先做如下假设:①假设潜在滑动面是一个连续面(实际上是一个折叠面)；②假设潜在滑动面上的F20断层泥为应变软化介质(E=0.26 × 104MPa，μ= 0.32)；下段强风化粉砂岩为应变硬化介质或弹脆性介质(E=5.8 × 104MPa，μ= 0.2)；③取地下水(主要来自降雨入渗)可使上段断层泥强度(刚度)降低0.70，下段强风化粉砂岩强度(刚度)降低0.85。

图7-9潘田矿区北采区边坡主断面示意图

2)计算两个截面的中刚度比，计算结果见表7-1。结果表明，对于任何潜在滑动面，其刚度比为k？1，也就是说对于北矿段不满足快速滑坡的必要条件，10年的实践也证明了这一点。

表7-1主断面潜在滑动面介电刚度比K