初中奥林匹克数学证明
如果一个数是另一个整数的完全平方，那么我们称它为完全平方数，也叫平方数。例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
通过观察这些完整的平方数，可以了解它们的个位数、十位数、数的和等的规律性。让我们研究一下完全平方数的一些共同性质:
属性1:一个完整平方数的最后一位只能是0，1，4，5，6，9。
性质二:奇数的平方的个位数是奇数，十位数是偶数。
证明奇数必须是以下五种形式之一:
10a+1，10a+3，10a+5，10a+7，10a+9
分别平方后，得到
(10a+1)= 100+20a+1 = 20a(5a+1)+1
(10a+3)= 100+60a+9 = 20a(5a+3)+9
(10a+5)= 100+100 a+25 = 20(5a+5a+1)+5
(10a+7)= 100+140 a+49 = 20(5a+7a+2)+9
(10a+9)= 100+180 a+81 = 20(5a+9a+4)+1
综上所述，我们可以知道奇数的平方，单位数是奇数1，5，9；十位数是偶数。
性质三:如果一个完整的平方数的十位数是奇数，那么它的个位数一定是6；另一方面，如果一个完整平方数的个位数是6，那么它的十位数一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k是奇数。因为的单位数是6，m的单位数是4或6，所以我们可以设m=10n+4或10n+6。规则
10k+6 =(10n+4)= 100+(8n+1)x 10+6
或者10k+6 =(10n+6)= 100+(12n+3)x 10+6。
即k = 10+8n+1 = 2(5+4n)+1。
或者k = 10+12n+3 = 2(5+6n)+3。
∴·k很奇怪。
推论1:如果一个数的十个数字都是奇数，并且其中一个数字不是6，那么这个数一定不是完全平方的。
推论二:如果一个完整平方数的个位数不是6，那么它的十位数是偶数。
性质4:偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4加1的倍数。
这是因为(2k+1)= 4k(k+1)+1。
(2k)=4
性质5:奇数的平方是8n+1型；偶数的平方是8n或8n+4型。
在性质4的证明中，从k(k+1)是偶数可以得出(2k+1)是8n+1类型的数；从奇数或偶数来看，(2k)可以是8n型或8n+4型的数。
属性6:平方数必须是以下两种形式之一:3k，3k+1。
因为自然数被3除，所以根据余数的不同可以分为三类:3m，3m+1，3m+2。平方后，你得到。
(3m)=9=3k
(3m+1)= 9+6m+1 = 3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同样的，你可以得到:
性质7:不能被5整除的数的平方是5k 1，能被5整除的数的平方是5k。
属性8:平方数有以下形式之一:16m，16m+1，16m+4，16m+9。
除了上述关于个位数、十位数和余数的性质外，我们还可以研究一个完整平方数的所有位数之和。比如256的位数加起来就是2+5+6=13，13就是256的位数之和。如果把13的位数加起来:1+3=4，4也可以叫做256的位数之和。我们下面提到的一个数的位数之和是指把它的位数相加。如果获得的数字之和不是一个数字，则再次将获得的数字相加，直到它变成一个数字。我们可以得到以下命题:
一个数的和等于这个数的余数除以9。
让我们以四位数为例来说明这个命题。
那就让四位数吧
= 1000 a+100 b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11 b+ c)+(a+b+ c+d)
显然，a+b+c+d是四位数除以9的余数。
对于n位数，也可以模仿这种方法证明。
关于完全平方数的和具有以下性质:
性质9:一个完整平方数的数之和只能是0，1，4，7，9。
证明了一个整数除以9只能是9K，9K 1，9K 2，9K 3，9K 4的形式，但是
(9k)=9(9)+0
(9k 1)=9(9 2k)+1
(9k ^ 2)= 9(94k)+4
(9k ^ 3)= 9(96k)+9
(9k 4)=9(9 8k+1)+7
除了上述属性之外，还有以下重要属性:
性质10:如果B是全平方数，则全平方数是充要的。
证明充分性:设b是一个平方数，那么
==(交流)
必要性:如果是一个完整的平方数，=，那么
性质11:如果素数P能被A整除，但不能被A整除，则A不是完全平方数。
证明了A有素因子P，但没有因子。已知当A分解成标准公式时，P的幂是1，而当一个完全平方数分解成标准公式时，各素数因子的幂是偶数，说明A不是完全平方数。
属性12:两个相邻整数的平方之间的整数都不是完全平方，即如果
& ltk & lt(n+1)
那么k一定不是一个完整的平方数。
性质13:正整数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身)。
(2)重要结论
1.个位数为2、3、7、8的整数一定不能完全平方；
2.个位数和十位数为奇数的整数一定不能完全平方；
3.个位数为6，偶数为十位数的整数一定不是完整的平方数；
4.形状为3n+2的整数一定不是完整的平方数；
5.4n+2和4n+3形式的整数一定不是完全平方的；
6.形状为5n 2的整数一定不是完整的平方数；
7.8n+2、8n+3、8n+5、8n+6、8n+7形式的整数一定不是完全平方；
8.总和为2、3、5、6和8的整数不能是完整的平方数。
(3)例子
【例1】:一个自然数减45加44还是一个完整的平方数。找到这个号码。
解法:设这个自然数为X，可以根据题意求出。
(m，n是自然数)
(2)-(1)可用
∴n>；m
（
但是89是一个质数，它的正因数只能是1和89，所以。求解得到n=45。代入(2)得到。所以自然数是1981。
【例2】:证明:四个连续整数加1的乘积等于一个奇数的平方(1954基辅数学竞赛)。
设四个连续的整数为，其中n为整数。想证明
是奇数的平方，把它因式分解成奇数的平方就行了。
证明了如果这四个整数加1的乘积是m，那么
而n(n+1)是两个连续整数的乘积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，所以n(n+1)+2n+1是奇数。这证明了m是奇数平方。
【例3】:验证:11，11，1111，这个数列没有完整的平方数(1972。
如果分析表的数字是一个完整的平方数，那么它必须是最后一位数字为1或9的数字的平方，也就是说，
或者
两端减去1后，可以推导出矛盾。
证明如果，那么
因为左端是奇数，右端是偶数，所以左右两端不相等。
如果，那么
因为左端是奇数，右端是偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完整的平方数。
另一个证明是它被奇数所知。如果是完全平方数，那只能是奇数的平方。但是已经证明奇数的平方的十位数一定是偶数，十位数上的位数是1，所以不是完整的平方数。
【例4】:测试系列49，4489，444889的每一项都是一个完整的平方数。
证书
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
是完整的平方数。
【例5】:由300个2和几个0组成的整数有可能是完全平方数吗？
解法:设一个由300个2和几个0组成的数为A，其数之和为600。
3|600 ∴3|A
这个数有3的因子，所以9 | a .但是9 | 600，∴矛盾。所以不可能有完整的平方数。
【例6】:试求一个四位数，是一个完整的平方数，且其前两位相同，后两位相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
解决方案:让这个数字
如果这个数是一个完整的平方，那么它一定是11的倍数。所以11 | A+B，A和B是0，1，2，9，所以* * *有(2，9)、(3，8)、(4，7)、(9，2)等八组可能性。
直接查，这个数是7744=88。
【例7】:求满足以下条件的所有自然数:
(1)是四位数。
(2)除以22，余数是5。
(3)它是一个完整的平方数。
解法:设，其中n和n都是自然数，我们可以知道n是奇数。
11 | n-4或11 | n+4
或者
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以这个自然数是1369，2601，3481，5329，6561，9025。
【例8】:甲和乙共同饲养了N只羊，每只羊的卖价正好是N元。羊全部卖完之后，他们之间的分钱方法是:先甲方拿10元，再乙方拿10元，以此类推。最后剩下不到10块钱，轮到B拿了。甲方平均分配给乙方多少钱(第二届祖冲之杯初中数学邀请赛)？
解:n只羊的总价为元，由题目可知，该元含有10元的奇数，即完整平方数的十位是奇数。如果一个完整平方数的十位数是奇数，那么它的个位数一定是6。因此，的最后一位数字是6，即6元是B拿走的最后一位，因此，为了平均分配，A应向B提供2元..
【例9】:矩形四条边的长度都是小于10的整数(单位:cm)。这四个长度可以组成一个四位数。这个四位数的千位和百位是一样的，这四位是一个完整的平方数。求这个长方形的面积(1986缙云杯二年级数学竞赛)。
解法:设矩形的边长为x，y，然后四位数。
∵N是一个完整的平方数，11是一个质数∴x+y能被11整除。
同样，x+y=11。
∴∴9x+1是一个完全平方数，检查表明x=7满足条件。X+y=11。
【例10】:求一个四位数，使其等于其四位数之和的四次方，证明这个数是唯一的。
解法:设符合题意的四位数是，那么，∴是五位数，∴是三位数。经过计算，只有一个是2401。
【例11】:求自然数n，使其值由数字0、2、3、4、4、7、8、8、9组成。
解决方法:显然。为了估算方便，我们把变化范围放大到，所以，也就是。∵,∴。
另一方面，因为已知九个数之和是3的倍数，所以和n都是3的倍数。这样，n只有三种可能:24，27，30。但是30结尾有六个零，所以30不尽如人意。精心策划的
因此，自然数n = 27。
(4)讨论主题
1.(1986第27期IMO试题)
设正整数d不等于2，5，13，证明在集合{2，5，13，d}中可以找到两个不同的元素A和B，使得ab -1不是一个完全的平方数。
2.求k的最大值。