数学概率问题

更安全的方法是使用递归。

设N个人都答错的情况数为a(n)。

容易看出a(1) = 0，a(2) = 1。

n个人都把错误的情况分为两类:

第n个人拿着的枪的主人刚刚拿到了第n把枪。

枪的主人有n-1种可能性。

剩下的n-2人有可能全答错a(n-2)。

这种情况的总数是(n-1) a (n-2)。

第n个人持有的枪的主人没有得到第n把枪。

第n个人拿到第k把枪，第n把枪被第j个人拿到，j ≠ K。

K有n-1种可能，以下是K确定时的情况数分析。

考虑一个操作:把第k把枪给第j个人，同时去掉第n个人和第n把枪。

这个操作在K确定后的情况和n-1人全错的情况之间建立了一一对应关系。

有一个逆运算:第n个人和第n把枪相加，第n把枪和第k把枪交换，第k把枪给第n个人。

所以这种情况的总数是(n-1) a (n-1)。

因此a(n)=(n-1)a(n-1)+(n-1)a(n-2)。

这道题至少需要1个人才能答对:p(n) = 1-a(n)/n！。

即a(n) = n！-不！p(n)。

在递归公式中代入得到n！-不！p(n) = (n-1) (n-1)！-(n-1) (n-1)！p(n-1)+(n-1)！-(n-1)！p(n-2)。

排列n p(n)=(n-1)p(n-1)+p(n-2)，即p (n-1) =-(p (n-65438+)

p(1)= 1-A(1)/1！= 1，p(2) = 1-a(2)/2！= 1/2，其中p(2)-p(1) = -1/2。

get p(n)-p(n-1)=(-1)(n+1)/n！。

所以p(n) = 1/1！-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n+1)/n！。