高考中的不等式问题

3 & gt2 3^n>；2^n

an=3^n-2^n>；0，序列中的所有项都是正的，1/an > 0 .

1/a 1 = 1/(3-2)= 1

1/an=1/(3^n -2^n)

[1/a(n+1)]/(1/an)=(3^n-2^n)/[3^(n+1)-2^(n+1]

=(1/3)[3^(n+1)-3×2^n]/[3^(n+1)-2^(n+1)]

=(1/3)[3^(n+1)-2^(n+1)-2^n]/[3^(n+1)-2^(n+1)]

= 1/3 -(1/3)2^n/[3^(n+1)-2^(n+1)]

& lt1/3

0 & lt[1/a(n+1)]/(1/an)& lt；1/3

1/a 1+1/a2+1/a3+...+1/an & lt；1+1× (1/3)+1× (1/3) 2+...+1× (1/3) (n-65438)

=1×(1-1/3^n)/(1-1/3)

=(3/2)(1-1/3^n)

=3/2 -(3/2)/3^n

(3/2)/3^n>；0 3/2 -(3/2)/3^n<；3/2

1/a1+1/a2+...+1/an & lt；3/2，不等式成立。

提示:这个问题的关键是利用了标度法，变成了大家熟悉的几何级数求和，从而证明不等式。