数学几何竞赛真题解答

1等腰梯形ABCD中，宜设AD为上底，BC为下底。

内切圆o在n点切腰AB，在e点切上底AD，在f点切下底BC。

从对称性可以得到:na = AE = ed = DM = X。

NB=BF=FC=CM=y。

同时∠C+∠D=180？。

∴cos∠C+cos∠D=0.

2在⊿ADM，我们可以从余弦定理得到:

cos∠D=(AD？+MD？-我吗？)/[2AD×MD]=(5x？-我吗？)/(4x？).

即:cos∠D=(5x？-我吗？)/(4x？).

在⊿BCM，同样可以得到:

cos∠C=(5y？-BM？)/(4y？)

∴可以获得两种类型的加成、整理:

【AM？/x？]+[BM？/y？]=10.

3很容易知道a点是内切圆o外的点，AM是圆o的割线，an是切线。

来自“切割线定理”的∴:x？=安？=AK×AM。

∴AM/AK=AM？/(AK×AM)=AM？/x？。

同样，y？=BN？=BL×BM。

∴BM/BL=BM？/(BL×BM)=BM？/y？。

∴总结:AM/AK=AM？/x？，而BM/BL=BM？/y？。

代:【AM？/x？]+[BM？/y？]=10.

可用:(AM/AK)+(BM/BL)=10。