多项式整除是考研真题

x？+x+1=0的两个根是w，w？其中w=(-1+i√3)/2，w？=1 1+w=-w？

f(x)=x^(2n)+1+(x+1)^(2n)

如果f(x)可以是x？除以+x+1，有f(w)=f(w？)=0

f(w)=w^(2n)+1+(w+1)^(2n)= w^(2n)+1+(-w？)^(2n)=1+w^(2n)+(w)^(4n)

f(w？)=w^(4n)+1+(w？+1)^(2n)= w^(4n)+1+(-w)^(2n)=1+w^(2n)+(w)^(4n)=f(w)

n = 3m f(w)=1+w^(6m)+w^(12m)=1+1+1=3

n = 3m+1 f(w)=1+w^(6m+2)+w^(12m+4)=1+w？+w=0

n = 3m+2 f(w)=1+w^(6m+4)+w^(12m+8)=1+w+w？=0

所以当且仅当n能被3整除时，多项式x ^ 2n+1+(x+1)2n不能被x ^ 2+x+1整除。

K=3