解决高中数学中的一道导数题

(1)当m=e时，求f(x)的最小值；

(2)讨论函数g(x)=f'(x)-x/3的零点个数；

(3)如果有b & gta & gt0，[f(b)-f(a)]/(b-a)& lt；1成立，求m的范围。

(1)解析:当m=e，f(x)=lnx+e/x时，

设f′(x)=(x-e)/x2 = 0 = = > x = e；

当x∈(0，e)，f′(x)< 0，f(x)是(0，e)上的减函数时的∴；

当x∈(e，+∞)，f′(x)> 0，且f(x)是(e，+∞)上的增函数时；

当x = e时，f(x)取最小值f(e)= lne+e/e = 2；

(2)分析:∫函数g(x)= f′(x)-x/3 = 1/x-m/x2-x/3(x > 0)，

设g(x)=0，得到m =-1/3x 3+x(x > 0)；

设φ (x) =-1/3x 3+x (x ≥ 0)，

∴φ′(x)=-x^2+1=-(x-1)(x+1)；

当x∈(0，1)，φ′(x)> 0，且φ(x)在(0，1)处为增函数时。

当x∈(1，+∞)时，φ′(x)< 0，φ(x)是(1，+∞)上的减函数；

∴φ(x)在x=1处取最大值，x=1是φ(x)的最大值点，φ(1)= 2/3；

φ(0)=0，结合y=φ(x)的图像，如图；

了解:

当m > 2/3时，函数g(x)没有零点；

当m=2/3时，函数g(x)有且仅有一个零点；

当0 < m < 2/3时，函数g(x)有两个零点；

当m≤0时，函数g(x)有且仅有一个零点；

总而言之:

当m > 2/3时，函数g(x)没有零点；

当m=2/3或m≤0时，函数g(x)有且仅有一个零点；

当0 < m < 2/3时，函数g(x)有两个零点；

(3分析:∫对于任意b > a > 0，[f (b)-f (a)]/(b-a)

等价于f (b)-b < f (a)-a常数；

设h (x) = f (x)-x = lnx+m/x-x (x > 0)，

∴h(x)在(0，+∞)处单调递减；

∫h′(x)= 1/x-m/x2-1≤0在(0，+∞)时总是成立，

∴m≥-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4(x>0)，

∴m≥1/4；

对于m=1/4，H′(x)= 0只在x=1/2时成立；

∴m的范围是[1/4，+∞)。