找到解决抽象函数问题的方法
1.找到一些特殊值
这类抽象函数一般给出定义域,一些性质和表达式来寻找特殊值。其解法往往是“特殊值法”,即关键是通过使变量在其定义域内取特殊值,使抽象问题具体化。
例1定义在r上的函数满足:和的值。
解决方案:由,
取而代之的是,
对于奇函数和have。
优优
因此,它是一个周期为8的周期函数。
例2已知函数有任意实数,当,
,找到上的范围。
解决方案:假设
而且,
然后,
当条件成熟时,
和
为了增加功能,
那就点菜吧
并且制造
得到
,
因此,奇函数,
,
上的值范围是
2.找到参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的表达式中。关键是利用函数的奇偶性及其在定义域上的增减,去掉“”符号,转化为代数不等式组,但要特别注意函数定义域的作用。
例3已知是定义在()上的偶函数和(0,1)上的增函数,满足并试图确定取值范围。
解:在(0,1)处是一个偶函数和增函数。
是一个递减函数,
尤德。
(1)当,
不平等不成立。
(2)什么时候,
(3)什么时候,
综上所述,求的值的范围是。
例4是已知的减法函数,定义在。如果常数成立,求数的范围。
解决方案:
杜衡站得住脚。
杜衡站得住脚。
杜衡建立了,
三。解决不等式
这类不等式一般需要将一个常数表示为函数在某一点的函数值,然后通过函数的单调性去掉函数符号“”,转化为一个代数不等式来求解。
例5已知一个函数可以求出任意,when,and的不等式的解集。
解决方案:假设和
规则
,
也就是说,
因此,增加功能,
和
所以不等式的解集是。
四。某些问题的证明
例6设它定义在R上并证明它对任何存在都是周期函数,求它的一个周期。
分析:这也是一个没有函数表达式的抽象函数。它的一般解法是根据给定的关系进行递归。如果能得到(t为非零常数),则是周期为t的周期函数。
证明:
得到
来源于(3)
由(3)和(4)导出。
上面的公式对任何东西都成立,所以它是一个周期为6的周期函数。
例7已知一切满足,当,,证明:(1),(2)是r上的减函数。
证明:是的,一切。
并且,制造,得到,
现在,那么,
但是
,
假设,
规则
也就是减法函数。
动词 (verb的缩写)综合问题解决
抽象函数的综合一般比较难,往往涉及多个知识点,需要高度的抽象思维。解题时要把握以下三点:一是注意函数定义域的应用;第二,利用函数的奇偶性,去掉函数符号前的负号;第三,利用函数的单调性去掉函数符号。
例8设函数定义在r上,when,and for any,having and when。
(1)证明;
(2)证明R是增函数;
(3)设置、
,如果,满足条件。
解:(1)凌德,
或者。
如果,当,有,这和当是矛盾的,
。
(2)如果,那么,是已知的,因为,如果,那么,由。
(3)由
尤德(2)
从(1)和(2),因为
,
也就是
例9定义在()上的函数满足(1),对于任何都成立。
(2)何时何地,
(1)审判判决奇偶;(2)判断的单调性;
(3)验证。
解析:这是一个以抽象函数为载体,研究函数的单调性和奇偶性,然后基于这些性质研究级数求和的综合问题。
解决方案:(1)在条件中,使,然后使可用。
,所以是奇函数。
(2)设定,然后
,
,从条件(2)来看,所以有,即单调递减,从奇函数性质来看,在(0,1)处仍是单调递减函数。
(3)
抽象函数问题的分类与分析
我们称没有明确给出解析表达式的函数为抽象函数。近年来,抽象函数问题频繁出现在各类考题中。由于其具有很强的抽象性和灵活性,大多数学生都很困惑,无法解决。本文试图通过实例进行分类分析,以供参考。
1.找到域名
这类问题只要牢牢把握住把函数看成一个整体的特性,就能解决,相当于函数中的X。
示例1。如果函数的定义域是,那么函数的定义域是_ _。
解析:因为等价于X in,所以得到解。
或者。
例2。如果已知域为,则的域为_ _ _ _ _。
分析:因为和都等价于中的X,所以
(1)那么,当
(2)那么,什么时候
判断对等
根据已知条件,通过适当的赋值和替换来寻找和之间的关系。
例3。已知定义域为r,对任意实数x,y都满足,证明它是偶函数。
分析:中间,make,
得到
制造,获得
因此
所以它是一个偶数函数。
例4。如果函数和的图像关于原点对称,验证:函数。
是一个偶数函数。
证明:设图像上任意一点为p()
和的图像关于原点对称,
关于图像上原点的对称点,
和
即对于函数定义域上的任意x都存在,所以是偶函数。
判断单调性
根据函数的奇偶性和单调性,画出函数示意图,帮助编号,快速解题。
例5。如果奇函数是区间中的增函数,并且最小值为5,那么它就在区间中。
A.最小值为b的增函数,最大值为。
C.减去d的最小值的函数,减去d的最大值的函数。
解析:画出符合题意的示意图1,轻松选B。
图1
例6。给定一个偶函数在世界上是减函数,问它在世界上是增函数还是减函数,证明你的结论。
分析:如图2所示,易知在世界上是递增函数,证明如下:
随意拿吧
因为它是一个递减函数,所以。
甚至再次发挥作用,所以
,
因此,它在世界上的作用越来越大。
图2
探索周期性
这类问题比较抽象,一般的解决方法是仔细分析问题的条件,通过相似性联想到函数原型,通过函数原型的分析或赋值迭代得到问题的解。
例7。设函数的定义域为R,对任意x,y,有。
,并且有一个正实数c,所以。是周期函数吗?如果是,找到它的一段;如果没有,请说明原因。
解析:仔细观察解析条件,联想三角公式,会发现题目的条件都满足,猜测是周期为2c的周期函数。
所以它是一个周期函数,2c是它的一个周期。
5.求函数值
迭代变换与已知条件密切相关,可以通过有限次迭代直接得到结果,或者在迭代过程中发现函数的周期性,巧妙地利用周期性解决问题。
例8。已知的定义域是,它适用于所有的正实数X和y,如果是这样,那么_ _ _ _ _ _。
分析:在条件中,使,得。
,
再说一遍,
好吧,
例9。定义在r上的函数是已知的,并且满足:
,的值。
解析:紧扣已知条件,多次使用,发现是周期函数,显然,所以
,
因此
因此,它是一个周期为8的周期函数,因此
6.比较函数值
利用函数的奇偶性和对称性,将自变量转化为函数的单调区间,然后利用其单调性解决问题。
示例10。已知函数是定义域为R的偶函数,若,,和,的大小关系为_ _ _ _ _ _。
分析:并且,
另一次,它增加了功能,
是一个偶数函数,
因此
7.讨论方程根的问题。
示例11。已知函数满足所有实数X,有三个实根,那么这三个实根之和是_ _ _ _ _ _。
解析:已知直线是函数像的对称轴。
有三个实根,从对称性来说肯定是方程的一个根,另外两个是关于直线对称的,所以,所以。
8.讨论不等式的解法
针对这类问题,利用函数的单调性进行变换,去掉函数的符号。
示例12。已知函数是定义在上的减函数,对于所有实数X,不等式成立,求k的值。
解析:从单调性出发,脱去函数标记,得到
从题意可知(1)(2)两个公式对一切都成立,则有
9.研究函数的图像
利用函数像变换的相关结论可以解决这类问题。
示例13。如果函数是偶函数,则像关于直线_ _ _ _ _对称。
解析:像的像是偶函数,对称轴是,所以像的对称轴是。
示例14。如果函数的像经过(0,1),则的反函数的像必经过不动点_ _ _ _ _。
解析:(0,1)的像是过点,所以(0,1)的像是过点。从原函数与其反函数像的关系很容易知道,(0,1)的像是过点。
10.找到解析公式
示例15。设函数有反函数,且的像关于一条直线对称,则函数
A.B. C. D。
解析:所需解析式本质上是求图像中任意一点的横坐标和纵坐标之间的关系。
一个点关于一条直线的对称点是合适的,即。
再说一遍,
也就是选b。
抽象函数的周期性
——对一道高考题的思考
2001高考数学(文科)第22题:设是定义在上的一个偶函数,其像关于一条直线对称。是的,任何事情。
㈠设定要求;
(II)它被证明是一个周期函数。
分析:(一)解决方法。
(二)证明:根据题目关于一条直线的对称性。
因此
它也被称为偶函数。
在上面的公式中,替换为,get。
这说明它是上的周期函数,2是它的一个周期。
偶函数的本质是图像关于一条直线对称。
另一个图像是关于对称性的周期函数。
2是它的一个周期。
从这个概括中,我们得到
思路一:设它是定义在上的偶函数,它的像关于一条直线对称,证明它是周期函数,是它的一个周期。
证明:关于线的对称性
它也被称为偶函数。
在上面的公式中,替换为,get。
周期函数是否开启
这是它的一个时期。
思维二:设是一个定义在上的函数,它的像是关于直线和对称的。证明是一个周期函数,而且是它的一个周期。
证明:关于线的对称性
将上述公式替换为。
周期函数是否开启
这是它的一个时期。
如果把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”,它还是周期函数吗?经过探索,我们得到了
思维三:设它是世界上定义的奇函数,它的像关于一条直线对称。证明是周期函数,4是它的周期之一。,
证明:关于对称性
它也被称为奇函数。
把上面的公式代入,得到。
周期函数是否开启
4是它的一个周期。
但奇函数的本质是像关于原点(0,0)对称,像关于直线对称,可以作为周期函数得到,4是它的周期之一。从这个概括中,我们得到
思维四:设是定义在上的函数,其像关于一点的中心对称,其像关于一条直线对称。证明是一个周期函数,而且是它的一个周期。
证明:关于点对称
关于线性对称
在上面的公式中,替换为,get。
周期函数是否开启
这是它的一个时期。
从上面我们发现,定义在图上的函数的像,如果它有两个对称轴或一个对称轴和一个对称轴,那么它就是图上的周期函数。进一步我们认为,如果定义在图上的函数的像有两个对称中心,那么它是周期函数吗?经过探索,我们得到了
思维五:设是定义在上的函数,它的像是关于点和对称的。证明是一个周期函数,而且是它的一个周期。
证明:关于对称性
在上面的公式中,替换为,get。
是一个周期函数。
这是它的一个时期。