空间向量在立体几何中的应用(一)

向量在立体几何中占有重要的位置，起着非常重要的作用。它的应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助绘图、图形分析和想象过程，可以直接用代数运算解决立体几何中的计算和证明问题。近几年几乎每年都出现在高考中，其题型主要以大题的形式出现，有时也应用在选择题或填空题中。

使用场景:在立体几何中证明垂直度

解决问题的步骤:

第一步，根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，标注对应点的空间坐标；

第二步，将已知条件转化为空间向量问题并求解。【来源:学习+学科+网络】

第三步，得出结论。

例1，在直三棱柱中，在底、、边、、分别是的中点。

验证:

证明:以原点为轴，分别以、和、轴、正方向为轴，建立空间直角坐标系。

根据问题的意思，，，，

,

例2。如图，平面和四边形都是正方形，而，是，的中点。

(1)建立合适的空间坐标系，写出点的坐标；

(2)在平面上找一点做平面。

回答

(1)点的坐标为

(2)平面满足当它是的中点时。

分析

(1)如图所示

分别以、和的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

然后，，，设定，然后，

, ,,

,

求解，

所以这个点的坐标是。

(2)平面垫，可设置

然后，再一次，

飞机，还有

也就是说，

点的坐标为，即当点是的中点时，平面满足。

使用场景:在立体几何中证明平行性

解决问题的步骤:

第一步，根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，标注对应点的空间坐标；

第二步，将已知条件转化为空间向量问题并求解。

第三步，得出结论。

例如，在图中，已知矩形垂直于直角梯形所在平面的平面在一条直线上，而、和。设置该点为边的中点，验证:平面；(同探究题示例)

证明:

由已知，平面平面，然后平面。

所以，每两个是垂直的。

因此分别以原点、、和为轴，轴和正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。

然后，，，，，

因此

易知平面的法向量等于，

因此

友平飞机

所以飞机

摘要

利用空间直角坐标系求解空间角度的关键是建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系的主要途径有:

(1)一般来说，如果已知的空间几何包含三条相互垂直且相交于一点的直线，则以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；

(2)如果没有这三条直线，就尽量找两条垂直相交的直线，作为两个坐标轴建立空间直角坐标系，即建立坐标系时以垂直相交的直线为基本起点；

(3)构建系统的基本思想是寻找线与线之间的垂直关系，当没有现成的垂直关系时，要通过其他已知条件来获得垂直关系。