急求中学考题
(1)当平移到图3所示的位置时，猜测图中的和之间的数量关系，并证明自己的猜测；
(2)设平移距离为，重叠面积为，请写出和与自变量范围的函数关系；
(3)对于(2)中的结论，重叠部分的面积等于原面积，是否存在这样的值？
如果存在，求x的值；如果不存在，请说明原因。
【解法】(1)。因为，因此。
因为CD是斜边的中线，
所以，那就是
所以所以。
所以，用同样的方法:
因为所以。所以。
②因为在，，所以从勾股定理，我们得到
也就是
因为所以。所以。
在中，到的距离是边的高度，即。
集合边缘的高行为是通过探索获得的，所以。
所以。
因为还是那句话。
因为还是那句话。
所以，
但是
因此
(3)存在。何时，即
整理一下，想个办法。
即，当或时，重叠部分的面积等于原始面积。
2.(浙江金华，2006)如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB与轴分别相交于A (3，0)和B (0，0)两点，c点为线段AB上的动点，交点c为d点处的CD⊥轴.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若S-梯形OBCD= =，求c点的坐标；
(3)第一象限中是否存在点P，使得P，O，B，O，B为顶点。
三角形类似于△OBA。如果存在，请求满足要求的所有条件。
点p的坐标；如果不存在，请说明原因。
【解】(1)直线AB的解析式为:y = x+。
(2)方法一:设C点为(x，x+)，则OD = x，CD = x+。
∴ = = .
从题意来看:=，get(省去)
∴ C(2)
方法二:∫，=，∴.
从OA= OB，∠ Bao = 30，AD= CD..
∴ = CD× ad = =。可用CD =。
∴ AD=1，OD=2。∴C(2)。
(3)当∠OBP = RT∞时，如图。
①如果△BOP∽△OBA，△ bop = ∠ bao = 30，BP= OB=3，
∴ (3, ).
②如果△BPO∽△OBA，△ BPO = △ BAO = 30，OP = OB = 1。
∴ (1, ).
当∠OPB = RT∞。
(3)若穿过p点，则在p点做OP⊥BC(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠ BOP = ∠ Bao = 30。
通过点p作为点m的PM⊥OA
方法一:在Rt△PBO中，BP= OB= =，OP = BP =。
∫在Rt△PMO中∠ OPM = 30，
om = op =PM= OM=。∴ ( , ).
方法二:设P(x，x+)，得到OM = x，PM = x+。
From ∠ bop = ∠ Bao，∠ POM = ∠ ABO。
∫tan∠POM = =，tan∠ABOC= =。
∴ x+= x，解是x =。这个时候，(，)。
④如果△POB∽△OBA(如图)，则△ OBP = △鲍= 30，△ POM = 30。
∴ PM= OM=。
∴(，)(一个点的坐标也可以从对称性得到)。
当∠OPB = RT∞时，点P在X轴上，不满足要求。
总的来说，有四个合格点，即:
(3, ), (1, ), ( , ), ( , ).
3.(山东济南，2006)如图1，已知，，，过点，连线过点。
(1)的长度；
(2)以该点为圆心，半径为⊙A，试判断是否与⊙A相切，并说明原因；
(3)如图2，若点过，则垂足。以点为中心，半径⊙a；以点为圆心，半径为⊙ C，若和大小可变，且变化过程中保持⊙A和⊙C相切，使内点⊙A，外点⊙A，求和的变化范围。
[解决方案]
(1)英寸，
。
, .
。
, .
(2)与⊙ a相切.
在，，，
, .
再说一遍，
与⊙ a相切。
③因为，所以变化的范围是。
当⊙A和⊙C外切时，变化范围为；
当⊙A和⊙C内接时，变化范围为。
4.(山东烟台，2006)如图所示，已知抛物线L1: y=x2-4的像与X相交于A点和C点，
(1)若抛物线l2和l1关于X轴对称，求l2的解析表达式；
(2)若B点是抛物线l1上的动点(B与A、C不重合)，以AC为对角线，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点设为D，证明D点在l2上；
(3)探究:当B点位于X轴上下两部分l1的像上时，平行四边形ABCD的面积有最大值和最小值吗？如果存在，判断是什么样的特殊平行四边形，求其面积；如果不存在，请说明原因。
[解决方案]
(1)设l2的解析式为y = a (x-h) 2+k。
∵l2与X轴的交点A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标为(0，4)，L1与L2关于X轴对称
∴l2经过A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标为(0，4)。
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 a=-1
∴l2的解析公式是y=-x2+4。
(2)设B(x1，y1)
b点在l1上。
∴B(x1，x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形，A和C关于o对称。
∴B和d关于o对称
∴D(-x1，-x12+4)。
将D(-x1，-x12+4)的坐标代入L2: y =-x2+4。
左=右
D点在l2上。
(3)设平行四边形ABCD的面积为s，则
S = 2 * S△ABC = AC * | y 1 | = 4 | y 1 |
A.当b点在x轴上方时，y1>0 > 0。
∴S=4y1，它是关于y1与s成正比的函数，随着y1的增大而增大。
∴S既没有上限也没有下限。
b当b点在x轴下方时，-4 ≤ y1 < 0。
∴S=-4y1，它是关于y1与s成正比的函数，随着y1的增大而减小。
∴当y1 =-4时，s的最大值是16，但它没有最小值。
此时B(0，-4)在Y轴上，其对称点D也在Y轴上。
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时最大S =16。
5.(浙江嘉兴，2006)一个旅游胜地想开发一座景观山。从山的侧面可以测出，迎面而来的山坡线ABC由两条在同一平面上的抛物线组成，其中AB所在的抛物线有顶点，开口向下，BC所在的抛物线有顶点，开口向上。以穿过山脚的水平线(C点)为X轴，穿过山顶的垂直线(A点)为Y轴，建立一个平面直角坐标系，如图。
(1)设它是山坡线AB上的任意一点，用Y表示X，求B点的坐标；
(2)沿着迎面而来的山坡，从山顶向山下铺设观景台阶。每步高度为20厘米，长度视坡度而定，但不得小于20厘米。每一步的两端都在斜坡上(见图)。
①分别计算前三步的长度(精确到厘米)；
(2)台阶不能一直铺到山脚下，为什么？
(3)山坡上700米高度(D点)正好有一小块平地，可以用来建索道站。索道的起点选在山脚水平线的E点，(米)。假设索道DE可以近似看成一个。
以E为顶点，开口向上的抛物线的解析式为。试着找出电缆轨道的最大悬挂高度。
【解法】(1)∵是山坡线AB上的任意一点，
∴ , ,
∴ ,
∵ ,∴ =4,∴
(2)在山坡线AB上，
1订单，搞定；制造，获得
第一步的长度为(100米)(厘米)。
同样，使、可用，
第二步的长度为(100米)(厘米)。
第三步的长度为(100米)(厘米)。
(2)取点，再取，然后
∵
这种台阶不能从山顶铺到B点，所以不能一直铺到山脚。
(注:其实这种台阶从山顶最多只能铺到700米的高度，从100米的高度铺到700米的高度就不行了。解决问题的时候，是开放的。)
②另一种解法:连接任意一步的两个端点P和Q，如图。
这个台阶的长度不小于它的高度。
∴
当其中一个台阶比其高度长时，
在主题图中，是用h写的。
然后，第一级台阶比它的高度长。
这种台阶不能从山顶铺到B点，所以不能一直铺到山脚。
(3)
、 、 、
从图中可以看出，只有当索道在BC以上时，索道的悬挂高度才能达到最大。
当索道在BC以上时，悬挂高度
什么时候，
索道的最大悬挂高度是100米.
6.(山东潍坊，2006)已知二次函数图像的顶点在原点和对称轴上。一次函数的像和二次函数的像相交于两点(在的左侧)，点的坐标为。一条平行于轴线的直线穿过该点。
(1)求一次函数和二次函数的解析表达式；
(2)判断线段直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
(3)将二次函数图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位。二次函数的像与轴相交于两点，一次函数的像与点相交。值是多少，圆过三点的面积最小？最小面积是多少？
【解决方案】(1)替代，
线性函数的解析公式为:
二次函数图像的顶点在原点，对称轴是轴。
假设第二分辨率函数是，
替代品，
第二个解析函数是。
(2)由
解决或者，
,
交叉点是垂直线，垂直的脚是，
然后，
直角梯形的中线长度为，
如果直线垂直于该点，那么，
,
的长度等于从中点到直线距离的两倍，
有直径的圆与直线相切。
(3)平移后的二次分辨函数为，
制造，获得，，，
过三点的圆心一定在一条直线上，该点为定点。
为了使圆的面积最小，圆的半径应该等于点到直线的距离。
此时，半径为2，面积为，
假设圆心是中点，那么，
在一个三角形里，
，还有，，
当，过三点的圆的面积最小，最小面积为。
7.(2006年江西)问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中得到了以下两个命题:
①如图1，在正三角形△ABC中，m和n分别是AC和AB上的点，BM和CN相交于o点，如果∠ bon = 60？，则BM = cn
②如图2所示，在一个正方形ABCD中，m和n分别是CD和AD上的点，BM和CN相交于o点，如果∠ bon = 90？，则BM = cn
然后利用类比的思想提出以下命题:
③如图3所示，在正五边形ABCDE中，M和N分别是CD和DE上的点，BM和CN相交于O点，如果∠ bon = 108？，那么BM = cn。
任务要求:
(1)请从①、②、③三个命题中任选一个来证明；(注:选①对，得4分，选②对，得3分，选③对，得5分)
(2)请继续完成以下探索:
请在图3中画一条DH等于CN的线，使H点在正五边形的边上，与CN相交所成的角为108？这样的线段有多少？(不一定要写图纸，也不需要证明)
②如图4所示，在正五边形ABCDE中，m和n分别是DE和EA上的点，BM和CN相交于O点，如果∠ bon = 108？结论BM = cn还成立吗？如果有，请给出证明；如果没有，请说明原因。
【解决方案】(1)以下答案供参考:
(1)如果选择命题①。
证明:在图1中，∫∠bon = 60∴∠∠1+∠2 = 60。
∵∠3+∠2=60 ,∴∠1=∠3
bc = ca，∠BCM =∞∠BCM =∠can = 60 ∴δbcm≌δcan.
∴bm=cn②如果命题被选中，②
证明:在图2中，∫∫∠bon = 90∴∠1+∠2 = 90。
∵∠3+∠2=90 ,∴∠1=∠3
bc = cd，∠BCM =∞∠BCM =∠cdn = 90 ∴δbcm≌δcdn.
∴BM=CN
(3)如果选择命题③。
证明；在图3中，∫∠bon = 108∴∠1+∠2 = 108。
∵∠2+∠3=108 ∴∠1=∠3
BC = CD，∠ BCM = ∠ CDN = 108。
∴δbcm≌δcdn
∴BM=CN
(2)① A:当∠BON=，结论BM=CN成立。
②当∠ bon = 108时。BM=CN也成立。
证明；如图5所示连接BD和CE。
在△BCI)和△CDE。
BC = CD，∠BCD=∠CDE=108，CD=DE
∴δbcd≌δCDE
∴BD=CE，BDC=∠CED，DBC=∠CEN
∠∠CDE =∠dec = 108，∴∠BDM=∠CEN
∠∠OBC+∠ECD = 108，∠OCB+∠OCD=108
∴∠MBC=∠NCD
∠∠DBC =∠ECD = 36，∴∠ DBM =∠ ECN。
∴δbdm≌δCNE ∴bm=cn
8.(吉林长春，2006)如图所示，在平面直角坐标系中，两个函数的像相交于a点，动点P从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动。设PQ‖x轴交线BC在Q点，PQ向下为PQMN的平方。设其与△OAB重叠的面积为s
(1)求A点的坐标..
(2)试求点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系。
(3)在(2)的条件下，S有最大值吗？如果是，当找出t的值是什么时，S有最大值，并找出最大值；如果没有，请说明原因。
(4)若P点通过A点后继续按原方向和速度运动，当PQMN的平方与△OAB的重叠面积最大时，运动时间t满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _条件。
[解决方案] (1)可从获得。
∴A(4,4)。
(2)点p在y = x上，OP = t，
那么点p坐标是
点q的纵坐标是，点q在上面。
∴ ,
即该点的q坐标为。
。
当，。
什么时候，
当点p到达点a时，
什么时候，
。
(3)有一个最大值，最大值应该在中间。
当时，s的最大值为12。
(4) 。
9.(湖南常德，2006)两个全等的直角三角形叠在一起，使三角形板的锐角顶点与三角形板斜边的中点重合，其中，，三角形板固定，三角形板绕一点旋转，假设射线相交于一点，射线与线段相交于一点。
(1)如图9所示，射线通过一点时很容易证明，即该点与该点重合。
(2)从图1所示位置绕点逆时针旋转三角板，旋转角度为。
，询问的值是否已更改？陈述你的理由。
(3)在(2)的条件下，设两个三角形板的重叠面积是和的函数。
[解决方案] (1)8
(2)的值不会改变。
原因如下:在和中，
也就是
(3)案例1:当，也就是此时，两个三角形板的重叠部分是四边形，这就太多了，太多了，
从(2)中得知:Get
因此
情况二:when，when，即此时，两个三角板的重叠部分为，
因为，，很容易证明，
即时解决方案
因此
总而言之，当，
什么时候，
方法2:连接并作用于点，在和中，
方法三:在点上过度动作，在中间，
如此和谐
也就是
10，(湖北宜昌，2006)如图所示，点O为坐标原点，点A(n，0)为X轴上的移动点(n < 0 = AOBC以AO为一边，点C在第二象限，OB = 2oa。矩形AOBC绕A点逆时针旋转90度，形成矩形AGDE..过A点的直线是y = kx。
(2)当A点位置变化时，△AMH的面积与直角AOBC的面积之比是否变化？陈述你的理由。
【解法】(1)根据题意:E(3n，0)，G(n，-n)
当x = 0时，y = kx+m = m，f点坐标为(0，m)。
∵Rt△AOF，AF2 = m2+N2，
FB = AF，
∴m2+n2=(-2n-m)2，
简化:m =-0.75 n，
对于y = kx+m，当x = n，y = 0时，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点e，f，g，
∴
解:a =，b =-，c =-0.75n。
∴抛物线是y = x2-x-0.75n
解方程:
X 1 = 5n，Y 1 = 3n；x2=0，y2=-0.75n
∴H坐标为:(5n，3n)，hm =-3n，am = n-5n =-4n，
∴△AMH面积= 0.5×hm×am = 6 N2；
但是，矩形AOBC的面积= =2n2，∴△AMH:的面积矩形AOBC的面积= 3: 1，它不随a点的位置而变化.
11，(北京海淀，2006)如图所示，已知⊙O的直径AB垂直于E中的弦CD，连接AD，BD，OC，OD，OD = 5。
(1)如果，求CD的长度；
(2)若∠ ADO: ∠ EDO = 4: 1，求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。
[解决方案]
(1)因为AB是⊙O的直径，所以OD = 5。
所以∠ ADB = 90，AB = 10。
在Rt△ABD中，
又来了，所以，所以。
因为∠ ADB = 90，AB⊥CD.
因此
因此
因此
因此
(2)因为AB是直径⊙O，AB⊥CD.
因此
所以∠巴德= ∠ CDB，∠ AOC = ∠ AOD。
因为ao = do，∠ bad = ∠ AO=DO。
所以∠ CDB = ∠阿多
设∠阿多= 4x，那么∠ CDB = 4x。
如果∠ ado: ∠ edo = 4: 1，∠ edo = X。
因为∠阿多+∠江户+∠ EDB = 90。
因此
所以x = 10。
所以∠aod = 180-(∠oad+∠ado)= 100。
所以∠ AOC = ∠ AOD = 100。
12，(湖南长沙，2006)如图1所示，已知直线与抛物线相交于两点。
(1)求两点的坐标；
(2)求线段中垂线的解析式；
(3)如图2，取一根与线段等长的橡皮筋，分别在两处固定端点。用铅笔拉动这根橡皮筋，使笔尖在直线上方的抛物线上移动，移动的点会形成无数个三角形。这些三角形中有面积最大的三角形吗？如果存在，找出最大面积，指出这个点的坐标；如果不存在，请简要说明原因。
[解决方案]
(1)解法:根据题意得出解法。
(2)轴线的中垂线相交，轴线在两点上，在(如图1)。
根据(1):
过轴，垂足。
从，从，
类似地:
让解析式成为
中垂线的解析式为:
(3)若有一点使面积最大，则该点在与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线上，直线与轴相交于两点(如图2)。
抛物线和直线只有一个交点，
,
在一条直线上，
将距离设置为，
到的距离等于到的距离。
。
13，(广东，2006)如图所示，平面直角坐标中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60，P点为X轴上的动点，P点与0点和a点不重合，连接CP。
(1)求B点的坐标；
(2)当P点移动到什么位置时，△OCP是等腰三角形，求P点此时的坐标；
(3)当P点移动时，设∠CPD=∠OAB，且=，求P点此时的坐标。
【解法】(1)设BQ⊥x轴在q .
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60
在rt δ bqa中，BA=4，
∴BQ=AB？sin∠BAO=4×sin60 =
AQ=AB？cos∠BAO=4×cos60 =2，
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
b点在第一象限，
∴b点的坐标是(5，)
(2)如果δδOCP是等腰三角形，∵∠ COP = 60，
此时，δδOCP是一个等边三角形或等腰三角形，顶角为120。
如果δOCP是等边三角形，OP=OC=PC=4，P点在X轴的正半轴上
∴点p的坐标是(4，0)
如果δOCP是一个顶角为120的等腰三角形，那么P点在X轴的负半轴上，OP=OC=4。
∴点p的坐标是(-4，0)。
∴点p的坐标是(4，0)或(-4，0)。
(3)如果∠CPD=∠OAB
∠∠CPA =∠OCP+∠COP
并且∠ OAB = ∠ COP = 60，
∴∠OCP=∠DPA
这时，δOCP≈δADP。
∴
∵
∴ ,
AD=AB-BD=4- =
AP=OA-OP=7-OP
∴
Get OP=1或6。
∴点p的坐标是(1，0)或(6，0)。