高中数学导数与不等式证明

设f'(x)=0，得到x=1/2。

0 < x < 1/2，f' (x) < 0。

当1/2 < x < 1，f' (x) > 0时。

f (x)的最小值为f(1/2)=-ln2。

(2)设b ≤ c。

设g(x)= xlnx+clnc-(x+c)[ln(x+c)-LN2]，

x∈(0，c)

g'(x)=lnx-ln(x+c)+ln2

=ln[2x/(x+c)]

∫x≤c，

∴g'(x)≤0

∴g(x)单调递减。

∴g(b)≥g(c)=0

即:blnb+clnc≥(b+c)[ln(b+c)-ln2]

∴alna+blnb+clnc

≥alna+(b+c)[ln(b+c)-ln2]

= alna+(1-a)[ln(1-a)-LN2]

≥-ln2+(a-1)ln2

根据(1)，alna+(1-a)ln(1-a)≥-LN2。

=(a-2)ln2