初中数学几何题-高手进阶

证:已知在△ABC，∠C = 90°中，M点在BC上，BM=AC，N点在AC上，AN=MC，AM和BN相交于p点。

设AC=BM=X，MC=AN=Y，则

BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y

AM=√(AC^2+MC^2)=√(X^2+Y^2)

如果过n点为NE⊥AM，过e点为AM，则△AEN∽△ACB。

AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM

AE=AN*AC/AM=Y*X/√(X^2+Y^2)

NE=AN*MC/AM=Y^2/√(X^2+Y^2)

如果交点p是PF⊥BC，交点BC是f，那么△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC。

PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y

PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*(X-Y)/(X+Y)

BF*(X-Y)/(X+Y)=FM*X/Y

BF =(FM * X/Y)*[(X+Y)/(X-Y)]= FM * X *(X+Y)/[Y *(X-Y)]

BF=BM+FM=X+FM

FM*X*(X+Y)/[Y*(X-Y)]=X+FM

FM=XY*(X-Y)/(X^2+Y^2)

PM/FM=AM/CM

pm=fm*am/mc=[xy*(x-y)/(x^2+y^2)]*[√(x^2+y^2)/y]

=X*(X-Y)/√(X^2+Y^2)

PE=AM-AE-PM

=√(x^2+y^2)-y*x/√(x^2+y^2)-x*(x-y)/√(x^2+y^2)

=Y^2/√(X^2+Y^2)

=东北

因为NE⊥AM，也就是NE⊥PE.

已知在直角△NEP中，NE=PE。

因此∠ EPN = 45度。

但是∠BPM=∠EPN。

所以BPM = 45。

证据二:

证:已知在△ABC，∠C = 90°中，M点在BC上，BM=AC，N点在AC上，AN=MC，AM和BN相交于p点。

设AC=BM=X，MC=AN=Y，则

BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y

tan∠AMC=AC/MC=X/Y

tan∠NBC=CN/BC=(X-Y)/(X+Y)

∠AMC=∠BPM+∠NBC

∠BPM=∠AMC-∠NBC

tan∠BPM=tan(∠AMC-∠NBC)

=(tan∠AMC-tan∠NBC)/(1+tan∠AMC * tan∠NBC)

=[X/Y-(X-Y)/(X+Y)]/[1+(X/Y)*(X-Y)/(X+Y)]

=[X *(X+Y)-Y *(X-Y)]/[Y *(X+Y)+X *(X-Y)]

=(X ^2+Y ^2)/(X ^2+Y ^2)

=1

因为BPM

所以BPM = 45。