史上最难的IMO

第40个IMO最难。题目如下:1。圆γ 1和圆γ 2相交于点M和n，设L为圆γ 1和圆γ 1的两条公切线中离M较近的公切线。圆γ 2的切线在b点，设过M点且平行于L的直线与圆γ 1相交于C点，与圆γ 2相交于d点，直线CA和DB相交于E点；直线AN和CD相交于p点；直线BN和CD相交于q点证明:EP = eq.2设A，B，C为正实数，abc=1。验证:(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤

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(1).选择任意两只跳蚤，让它们分别位于A点和B点，A位于B的左侧；(2)使A点的跳蚤跳到B点右侧的C点，这样

BC/AB=λ。

尝试确定所有可能的正实数λ，使得对于直线上的任意给定点M和n只跳蚤的任意初始位置，经过有限次移动后，所有跳蚤总能位于M的右侧。4.一个魔术师有一百张卡片，上面分别写着数字1到100。他把这一百张卡片放进三个盒子里，其中一个是红色的。一个是白色的，一个是蓝色的。每个盒子里至少放一张卡片。一名观众从三个盒子中选择两张卡片，然后从两个盒子中各选择一张卡片，然后宣布两张卡片上数字的总和。知道了这个总和，魔术师就可以在没有牌的情况下指出哪个是盒子。Q * *有多少种放牌方式，让魔术总能成功？(如果至少有一张卡片放入不同颜色的盒子中，这两种方法被认为是不同的。)

N 5。判断是否存在满足以下条件的正整数n:能被2000个不同的素数整除，2n+1能被n整除.

6.设AH 1，BH2，CH3为锐角三角形ABC的三条高线。三角形ABC的内切圆分别与点T1、T2、T3、T3相切，设直线L1、L2、L3分别为直线H2H3、H3H1。H1H2是关于直线T2T3、T3 T1、T1T2的对称直线。证明:L1、L2和L3定义的三角形的顶点都是