历年江西高中数学联赛。

2004年全国初中数学联赛试题及参考答案

(江西赛区2004年4月24日上午8:30-11:00补充问题)

1.选择题(本题满分42分，每道小题7分)

1.直角三角形的斜边长度是整数，两个直角边是方程9X2-3 (k+1) x+k = 0的两个根，所以k2的值是……………………………………………………………………………………()。

2 (B)4 (C)8 (D)9

2.(8+3)9+的值是................................()

(a)奇数(b)偶数(c)有理数，而不是整数(d)无理数

3.三个边长分别为2、5和7的立方体粘合在一起。在这些以各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的立方体的表面积为......................().

(A)410(B)416(C)394(D)402

x+yz=1

4.若三个实数X，Y，Z满足:y+zz=1，则适合条件的解组(X，Y，Z)有()。

z+xy=1

(A)3组(B) 5组(C)7组(D)9组

5.8a≥1，则的值为()

(A)1 (B) 2 (C)8a (D)无法确定。

6.方程的整数解是()

(A)1群(B)3群(C)6群(d)无限群。

2.填空(此题满分28分，每小题7分)

1.函数y = x2-2 (2k-1) x+3k2-2k+6的最小值是m .那么当m达到最大值时，x =

2.对于1，2，3，.。。9是每两个不同数字的乘积，所有这些乘积的和是

3.如图，AB，CD为圆o的直径，AB⊥CD，p为CD延长线上的一点，PE切圆o为e，BE与CD相交于f，AB=6cm，PE=4cm，则EF的长度=

4.用6张1x2的长方形纸将3x4的网格表完全覆盖，这样就有不同的覆盖方式。

三个。综合问题

1。有两组号码:A组1，2，.。。，100 B组12，22，32，.。。1002如果对于A组中的X，B组中有一个数Y，使得X+Y也是B组中的一个数，则称X为相关数，求A中相关数的个数。

2.二次函数y = ax2+bx+c(a >；0)与X轴和Y轴只有一个交集，即A和b。

AB=3，b+2ac=0，一次函数y=x+m的像经过A点，与二次函数的像在另一点d相交，求△DAB的面积

3.在等边三角形ABC中，D是BC边上的点，BD=2CD，P是AD上的点。

∠CPD=∠ABC，验证:BP⊥AD.

答案:a CBDBAB

二，1。1 2。870 3。4。11

三，1。73 2。9 3。(略)

2005年全国初中数学联赛初赛试卷

3月25日下午2: 30-4: 30或3月26日上午9: 00-11: 30。

学校_ _ _ _ _ _ _ _考生姓名_ _ _ _ _ _ _ _ _

书名编号12345

占欺头

评论员

棋子

1.选择题: (每小题7分，* * * 42分)

1.如果A和B都是实数，下列命题中正确的一项是()。

(A)A > b a2 > B2；(B)a≠B a2≠B2；(C)| a | > b a2 > B2；(D)a>|b| a2>b2

2.已知A+B+C = 3，A2+B2+C2 = 3，那么a2005+b2005+c2005的值是()。

0 (B) 3 (C) 22005 (D)3？22005

3.有一个足球是用几块黑白牛皮缝成的。黑色皮革为正五边形，白色皮革为正六边形(如图)。如果有12块缝制的足球黑皮，就有()块白皮。

(A) 16 (B) 18 (C)

4.Rt△ABC中，斜边AB=5，直角边的长度BC和AC是一元二次方程X2-(2m-1)X+4(m-1)= 0的两个根，则m的值为()。

(a) 4 (b)-1 (c) 4或-1 (d)-4或1。

5、在直角坐标系中，横坐标是一个称为整点的整数点，设k为整数，当直线y = x-3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以是()。

2 (B)4 (C)6 (D)8

6.如图，如果直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的像的对称轴，则有()。

(A)A+B+C = 0(B)B > A+C(C)C > 2b(D)ABC < 0

填空: (每道小题7分，* * * 28分)

1.已知x是非零实数且= a，则= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

2.已知A是实数，关于X的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，那么这个方程的根X能得到的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

3.p是⊙o的直径AB的延长线上的一点，PC在C点与⊙o相切，∠APC的平分线与AC相交于q点，则∠ PQC = _ _ _ _ _ _ _ _。

4.对于一个自然数N，如果能找到自然数A和B，且n=a+b+ab，那么N称为“好数”，例如3 = 1+1+1，那么3就是“好数”。

3.设A和B是抛物线Y = 2x2+4x-2上的点，原点位于线段AB的中点。试着找到a和b的坐标。

如图，AB为⊙o的直径，AB = D .设A为⊙o的切线，并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC在D点称为⊙o，BD的延长线在E点与AC相交，求AE的长度。

5.(此题满分为25)设X = A+B-C，Y = A+C-B，Z = B+C-A，其中A，B，C为待求素数。如果x2=y，=2，试着找出乘积abc的所有可能值。

参考溶液和分级标准

一、选择题(每小题7分，* * * 42分)

1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C

二、填空(每小题7分，* * * 28分)

1、a2-2 2、3、45 4、12

三、解法:∵原点是线段AB的中点，A点和B点关于原点对称。

如果A点的坐标是(A，B)，B点的坐标是(-a，-b)...5分。

a和B是抛物线上的点，它们的坐标分别代入抛物线解析式，所以:

........................10分。

解决方法:a = 1，b = 4或者a =-1，b =-4.............................................................................................................................

因此，A是(1，4)，B是(-1，4)或者A是(-1，4)，B是(1，4)...20分。

4.解:如果AD如图连接，那么∠1=∠2=∠3=∠4。

∴δcde∽δcad

∴ (1) ...................................5分。

∵δade⏍bda

∴ ② 10分。

从①、②和AB=AC，AE = CD................可以获得15分。

也可以通过δ CDE ∽ δ CAD得到，即AE2=CD2=CE？钙.................20分。

设AE=x，那么CE = D-X，那么X2 = D (D-X)。

即AE = x =(负值已丢弃)…… 25分。

动词（verb的缩写）解法:∫A+B-C = X，A+C-B = Y，B+C-A = Z，

∴ A =，B =，C =.............................5分。

∫y = x2，

因此，a =-(1)；

b= - (2)

c= - (3)

∴x= - (4)

∫x是整数，得到1+8a=T2，其中t是正奇数。.................10点

所以2a=，其中a是素数，所以有= 2，= a。

∴ t = 5，a = 3..................15分。

将a=3代入(4)中的x=2或-3。

当x=2，y=x2=4时，

So-2 = 2，z=16，

代入(2)和(3)可以得到b=9，c=10。

与b和c的矛盾是质数，应该舍弃。20分。

当x =-3，y = 9时。-3 = 2,

∴z=25

代入(2)和(3)可以得到b=11，c=17。

∴ABC = 3×11×17 = 561 25分。

2006年全国初中数学联赛

首次尝试

一、选择题(每小题7分，***42分)

1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，S、P分别用来表示四边形ABCD的面积和周长；S1和p1分别代表四边形EFGH的面积和周长。假设下列说法是正确的()。

(a)都是恒定值；(b)都是常数值，但不是常数值。

(c)不是常数，而是常数；(d)两者都不是常数。

2.已知它是一个实数，与两个方程有关。那么的值就是()。

(A) (B) (C) (D)1

3.关于的方程只有两个不同的实根。那么实数的范围是()。

(A)a>0 (B)a≥4 (C)2

4.设实数的大小关系为()。

(A) (B) (C) (D)

5.是一个有理数并且满足等式，那么的值就是()。

2 (B)4 (C)6 (D)8

6.将“至少有一个数为0且为4的倍数的正整数”由小到大排列成一列:20，40，60，80，100，104，...那么这一栏的数字158就是()。

二、填空(每道小题7分，***28分)

1.函数图像与轴的交点横坐标之和等于。

2.在等腰中，AC=BC=1，m是BC的中点，CE⊥AM在e点，AB在f点，则S△MBF=。

3.设具有最小值的实数为。

4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O (0，0)，A (100，0)，B(100，100)，C (0，100)。如果正方形0ABC的内部(边界和

让网格点p称为“好点”。那么正方形OABC中好点的数量是。

注:所谓网格点，是指平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点。

第二次尝试

第一卷

1.(20分)已知一元二次方程没有不同的两个实根。满足条件的有序正整数有几组？

(25分)如图L所示，D是等腰△ABC的底BC的中点，E和F分别是AC及其延长线上的点。已知∠ EDF = 90。ED = DF = 1，AD = 5。求BC线的长度。

三。(25分)如图2所示，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC和DC的延长线相交于E点和F点，O点和O1点分别是△CEF和△ABE的震中。验证:

(1)O，E和O1三点* * *线；

(2)

卷b

I (20分)与a卷第一题相同.

2.(25分)同a卷第二题.

三。(25分钟)如图2所示，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC和DC的延长线相交于E点和F点，O点和O1点分别是△CEF和△ABE的震中。

(1)验证:O、E和01三点* * *线；

(2)如果找到了学位。

卷c

一、(20分)同a卷第二题.

2.(25分)同b卷第三题.

(25点)设为正整数，在平面直角坐标系中，点与点之间的连线通过一个网格点。证明:

如果(1)是一个素数，则除了原点o (0，0)与该点的连线上的端点外，不存在其他网格；

(2)如果原点o (0，0)与该点的连线上除了端点外没有其他网格，则P是一个素数。

2007年全国初中数学联赛

武汉卡西欧杯选拔赛试题及参考答案

一、选择题(本大题* * 10小题，每小题5分，50分* * *)

1.已知线性函数y=ax+b的像经过第一、第二、第三象限与X轴相交于点(-2，0)，则不等式ax >；b的解集是()

(A)x & gt；-2(B)x & lt；-2(C)x & gt；2(D)x & lt；2

解答:∫a & gt；0，b=2a，∴ax>；b的解集是x & gt选择(c)

2、已知，下列结论正确的是()

(A)A & gt；b & gtc(B)c & gt；b & gta(C)b & gt；a & gtc(D)b & gt；c & gta

解:∫∴a>；b & gt选择(a)

3.父母的血型和孩子可能的血型有以下关系。

父母的

血型o，o o，a o，b o，ABA，a a，BA，ab b，bb b，ab ab，ab。

儿童的能力

o型，o型，b a型，b a型，o a型，b型，

AB O A B，

O A，B，

AB A，B，

AB型血

已知:(1) Main的父母和Main的血型不同；(2)曼恩的血型不是B，所以曼恩的血型是()

(A)A(B)AB或O (C)AB (D)A或O或AB型

解决方法:选择(d)

4、四条直线成对相交，且任意三条不相交于同一点，则四条直线* * *可形成一个同余角()。

(A)24组(B)48组(C)12组(D)16组。

解法:四条直线* * *可以形成四组不同的三条直线，每三条直线组* *可以形成12对同余角，所以* * *有4× 12 = 48组同余角。选择(b)

5.给定一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，关于数据的说法是:(1)方差为；(2)平均值为2；(3)平均值为4；(4)方差为4，正确的说法是()

(A)(1)和(2) (B)(1)和(3)(C)(2)(4)(D)(3)(4)。

解答:∴ (3)正确

(1)正确选择(B)

6.已知三角形的三条边A、B、C的长度都是整数，若b = 7，这样的三角形* * *有()。

21 28(C)49(D)54。

解:当a=2时，有1；当a=3时，有两个；当a=4时，有三个；当α= 5时，

有四个；当a=6时，有5个；当a=7时，有6个，* * *有21个错误选择(A)。

7.如图，直线L: Y = X+1，直线:放平面。

笛卡尔坐标系分为四个部分，点在()

(a)第一部分(b)第二部分

(c)第三部分(d)第四部分

解决方案:选择(c)

8.给定实数A满足，的值为()。

解∫a≥2007，∴，∴ = 2007，

所以选(c)

9、设分数不是最简单分数，那么正整数n的最小值可能是()。

(A)84(B)68(C)45(D)115

解法:设d是(n-13)和5n+6的公约数，则d | (n-13)，d | (5n+6)，∴ d |，∴ d | 71，√

10，如图，P为△ABC中的一点，BP、CP、AP的延长线分别为

AC、AB和BC相交于e、f和d点，考虑以下三个等式:

(1) ;(2) ;

(3) 。正确的是()

0 (B)1 (C)2 (D)3。

解答:(1)正确

(2)正确

(3)正确选择(D)

二、填空(本大题***4小题，每小题5分，***20分)

11.众所周知，它适用于所有实数x，

那么M能获得的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _

解:当-1 ≤ x ≤ 2时，的最小值为3，∫≥0，

∴当x=1时，的最小值为3，∴ 3 ≥ m，m的最大值为3。

12，射雕英雄传，英姑对黄蓉说:“你的算法自然比我的好一百倍。

但我问你:把1到9这九个数字排成三列，不考虑纵横斜角，每

这三个词加起来是十五。怎么安排他们？黄蓉低声道:“九宫就是说，

方法以灵兔为肩，二四为肩，六八为足，左三右七，穿九鞋左一，中五。…"

请按照黄蓉说的，在右边的“宫”里填上一到九这九个数字。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

解决

13，军训基地买苹果慰问学生。已知苹果的总数用八进制和八进制表示，所以苹果的总数用十进制表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

解:220∶1≤A≤6，1 ≤ B ≤ 6，1 ≤ C ≤ 6，

63a+b-48c = 0，b=3 (16c-21A)，∴ b = 0，3，6，b=3符合题意。

∴b=3,c=4,a=3，

14，图中是一个七边形棋盘，七个顶点的顺序是从0到6。

数，叫七格，一个棋子放在0格，现在是逆时针。

移动这一块，第一次移动1格，第二次移动2格，...

如果你第N次移动N个方块，不停留在棋子里的方块数是_ _ _ _ _ _ _ _。

解决方案:2、4、5

试着发现:(1)永不停歇的棋子的平方是2，4，5；

(2)棋子停留的格数每移动7次(即第k次和第(k+7)次停留在同一格)。

证明了棋子第k次移动时，移动的方格数为:1+2+3+…+k，棋子第(k+7)次移动时，移动的方格数为:1+2+3+…+k+(k+1)+…+(。

〔1+2+3+…+k+(k+1)+…+(k+7)〕-(1+2+3+…+k)= 7k+28 = 7(k+4)

所以第(k+7)个和第k个移动的棋子留在同一个格子里。

三、答题(本大题***2小题，每小题25分，***50分)

15，有40组C、A、S、I、O牌，每组由C、A、S、I、O五张牌组成，按照C、A、S、I、O的顺序从上到下叠放，现在这40组牌从上到下叠放在一起，然后第一张牌弃掉，第二张牌放在最下面，弃掉第三章，放第四张牌。

(1)在上面的操作中，只剩下88张牌的时候，a * * *输了多少张牌s？

(2)最后一张牌是哪组牌？

解:(1)40组卡西欧牌* * *有200张牌，这200张牌从上到下编号为:1，2，3，…，200。按照操作规则，当100张牌弃掉后，剩下的牌编号为2、4、6、…。12丢失的卡是2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，其中两张卡S丢失(序号:18，38)。100卡丢的时候，有20张卡S，所以只剩88张卡的时候，丢了22张卡S。

(2)如果只有128张()，最后一张要弃掉的牌是号码为128的牌。∫128 < 200 < 256，丢失72张牌时，涉及144张牌。剩下的128张卡中，最后一张卡号是144。144 = 5× 28+4，∴最后一张牌是29组中的第四张牌I。

16，如图△ABC，其中D为△ABC中的一点，将BA延伸到点E，将DC延伸到点F，使AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点。如果G，H和M是三点* * *线，

证明:AB=CD。

证明:取BC的中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM。

∫G、H、M分别为BD、AC、EF的中点。

∴MS‖AE，HS‖CF，，

∴HS=SM,∴∠SHM=∠SMH

GT‖CD，HT‖AB，

∴GT‖HS,HT‖SM

∴∠SHM=∠TGH,∠SMH=∠THG

∴∠TGH=∠THG

∴GT=TH

∴AB=CD

2008年全国初中数学联合竞赛参考答案初试

a、选择题1。设，且，则代数表达式的值为(b)。

5.7.9.11.

提示:这是方程的两个不同的根，所以。

2.如图，设，，为三角形的三个高度，若，，则线段的长度为(D)。

。4.。。

提示:有，所以是由勾股定理得到的。

3.从五张分别写有数字1、2、3、4、5的牌中取出两张牌，将第一张牌上的数字取为十位数，第二张牌上的数字取为个位数，组成一个两位数，则该数是3的倍数的概率为(c)。

。。。。

提示:有20种方法可以获得* * *，其中，有三种方法符合条件。

4.在△，，，和是这两个角的外角平分线，点分别在直线上和直线上，则(b)

。。

之间的大小关系。而且是不确定的。

提示:都是等腰三角形。

5.从今天起，相同价格的五种不同商品的价格将分别降低10%或20%。过了几天，这五种商品的价格就不一样了。如果最高价与最低价之比为，则最小值为(b)。

。。。。

提示:从高到低排列价格，相邻价格之间的比率至少为

6.如果满足已知实数，则

的值是(d)

。2008.。1.

提示:同样的道理。

，因此。

二、填空1。如果设置，则_ _ _ _ _ _ _ _。-2

提示:

2.如图，正方形的边长是1，是直线上的两点，和，，那么四边形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _。

提示:

3.已知图像的两个交点的横坐标和二次函数的轴分别是，和。设满足上述要求的最大值和最小值分别为，则_ _ _ _ _ _ _ _。

提示:满足条件。

4.把正整数1，2，3，…的平方排成一串:1491625364964810012165438…，排在第一位。

提示:有3个正方形，6个正方形，等等。

第二个测试(一)

首先，已知对于所有满足条件的实数，不等式

保持不变。当乘积取最小值时，的值。

解决方案:设置，然后

= =

当，当，因此。

如果，那么，那么，不总是大于或等于0，所以是一样的。

什么时候，

(1)什么时候，也就是什么时候，

因此，也就是。

(2)什么时候，也就是，

综上所述，此时最小值为，或。

如图，圆与圆相交于两点，这两点是圆的切线，点在圆上。

(1)证明该点在圆周上。

(2)设△的面积为圆半径的最小值。

解法:(1)连接，然后，再来一遍，这样等腰。

因为它是圆的切线，

因此，弦切角的弧长是弧长的两倍，即半径的直径通过圆弧的中点，即该点在圆上。

(2)连接，那么，因此，再因此，也就是和当它是圆的直径时，可以取等号，所以最小值为。

第三，设它是质数，正整数，求的值。

解法:将原方程排序为一元二次方程，约为:

因为是正整数，所以方程的判别式是完全平方数，也就是完全平方数。如果，那么

也就是因为，它们都是奇数或者偶数，差可以被3整除。

当，测试不是一个完整的平方数。

当，从上面的分析可以看出* * *四分解法可能满足条件。

When，不是整数，when，不是整数，

当或不是质数时，

时，是一个素数，此时只满足条件，

总而言之，…

附:1。(B、C卷)已知不等式对所有满足条件的实数对成立。当乘积取最小值时，的值。

3.(体积C)是素数，正整数，满足

，的值。

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

首次尝试

一、选择题(本题满分42分，每道小题7分)

1.设置，然后()

A.24。c。d。

2.在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB = 7，AC = 8，则BC =()。

A.。乙。c。d。

3.在最大整数不大于的情况下，方程的解的个数是()。

A.1。B. 2。C. 3。D. 4。

4.设正方形ABCD的圆心为点O，从所有以A、B、C、D、O五点为顶点的三角形中随机取出两个。它们面积相等的概率是()。

A.。乙。c。d。

5.如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 2，若以BC为直径在矩形中做一个半圆，半圆从A点的切线AE，CBE = (d)。

A.。乙。c。d。

6.设它是大于1909的正整数，这样完全平方数的个数是()

A.3. BC5。D. 6。

二、填空(此题满分28分，每小题7分)

1.已知为实数，如果是关于一个二次方程的两个非负实根，则的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

2.设D为△ABC的AB边上的一点，设DE//BC在E点与AC相交，DF//AC在f点与BC相交，给定△ADE和△DBF的面积分别为和，四边形DECF的面积为_ _ _ _ _。

3.如果实数满足条件，那么_ _ _ _ _。

4.如果已知是正整数，并且满足是整数，那么这样的有序数对* * *有_ _ _ _对。

第一个答案:ACCBDB；-3, ,-1,-7

第二个测试(一)

1.(此题满分为20)已知二次函数的图像与轴的交点为A和B，与轴的交点为c .设△ABC的外接圆的圆心为点p .

(1)证明⊙P与轴的另一交点是不动点。

(2)若AB恰好是⊙P的直径，则求和。

解法:(1)很容易求出点的坐标为，设，，然后，。

设⊙P与轴的另一交点为d，因为AB和CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为O点，所以OA× OB = OC× OD，那么。

因为，所以点在轴的负半轴上，所以点D在轴的正半轴上，所以点D是一个固定点，它的坐标是(0，1)。

(2)因为AB⊥CD，如果AB恰好是⊙P的直径，那么c和d关于点o对称，那么该点的坐标为

即。

再次，所以

，解决方案。

设CD为直角三角形ABC的斜边AD上的高度，分别为△ADC和△BDC的心，AC = 3，BC = 4，求。

答案是e中的E⊥AB，f中的F⊥AB

在直角三角形ABC中，AC = 3，BC = 4，.

而CD⊥AB，可以通过射影定理得到，因此，

。

因为e是直角三角形ACD的内切圆半径，=。

连接D和D，则D和D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC = ∠ DA = ∠ DC = ∠ DB = 45，所以∠ D =90，所以D∞。

同理可得。所以=。

3.(本题满分25分)已知为正数，满足以下两个条件:

①

②

证明了三条边可以构成直角三角形。

证明1乘以① ②得到，

也就是说，

就是，就是，

也就是说，

所以或或，就是或或。

所以以三条边为长，就可以形成一个直角三角形。

证法2结合公式1，可由公式2得出。

变形，得到③

它也由公式(1)获得，即，

代入方程3，你就得到，也就是。

所以或者或者。

结合①公式，或可得。

所以以三条边为长，就可以形成一个直角三角形。

第二个测试(b)

1.(此题满分为20)题型及解法同卷(a)第一题。

2.(此题满分为25)已知在△ABC，∠ACB = 90°时，AB边的高线CH与△ABC的两条平分线AM和BN相交于P和Q，PM和QN的中点分别为E和F。验证:EF‖AB。

解因为BN是∠ABC的平分线，所以。

因为CH⊥AB，所以

因此。

f是QN的中点，所以CF⊥QN，所以c，f，h和b是* * *圈。

还是那句话，所以FC = FH，所以F点在CH的中间垂线上。

同样，E点在CH的垂线上。

所以EF⊥CH.和AB⊥CH，所以ef ab。

3.(此题满分为25)题型及解法同卷(a)第三题。

第二个测试(c)

1.(此题满分为20)题型及解法同卷(a)第一题。

2.(本题满分为25)题型及解法同卷(b)第二题。

3.(本题满分25分)已知为正数，满足以下两个条件:

①

②

有三条边的三角形吗？如果存在，求三角形的最大内角。

解1乘以① ②得到，

所以或或，或或或。

因此，三条边可以构成直角三角形，其最大内角为90°。

解2与公式①结合，由公式②可得。

变形，得到③

它也由公式(1)获得，即，

代入方程3，你就得到，也就是。

所以或者或者。

结合①公式，或可得。

因此，三条边可以构成直角三角形，其最大内角为90°。