综合部分真题函数

1，高考试卷中三角函数测试统计

试卷问题分值的考试内容

全国卷(一)、(五)选择题五点正切函数的单调性

(6)多项选择题5分的几何级数和余弦定理。

(16)填空四点导数，三角函数奇偶性，三角变换

(17)解题12:三角函数的化简，三角函数的周期性和最大值。

全国卷(二)(2)选择题5角公式与三角函数的周期性

(10)选择题5点归纳公式和三角函数表达式

(14)填空4分等差数列和余弦定理。

(17)解题12分数向量与三角合成问题

表1:2006年全国卷、北京卷、上海卷横向统计

试卷问题分值的考试内容

北京卷(12)5分正弦定理和余弦定理填空。

(15)解法12三角函数的定义域，三角函数的化简与求值。

上海卷(6)选择题三角函数的评价，

(17)解题12:三角变换，三角函数的值域，最小正周期。

(18)解题12利用正弦定理和余弦定理解决与测量相关的实际问题。

表2:近三年广东成交量纵向统计

年度题型分数的考试内容

2004年(5)，选择题有三角变换，三角函数的周期性和奇偶性。

(9)选择题中三角函数同角与二次三角函数最大值的关系。

选择题(11)五点正切函数的形象性和单调性

(17)解题12:分数算术的中项，等比例的中项，双角公式，关于三角函数的一元二次方程。

2005年(13)用5分二项式定理和三角函数值填空。

(15)解题12化简三角函数，求函数的值域和最小正周期。

2006年(3)五点函数的奇偶性和单调性选择题。

(15)解题14:三角函数的最大值、周期、三角函数值。

2.高考试卷中三角函数的统计分析。

纵观近三年广东考题、2006年全国高考试卷及相关省市自主命题试卷，关于三角函数的命题有以下显著特点:

(1)题型及分值:三角函数题一般是两道小题和一道解法题，属于常规题型。三角函数解多在1解题的位置，三角形部分平均分约22分，约占15%；

(2)考试难度:三角函数解法一般都是基础题、中间题，难度不大，容易变形，与课本上的习题、例题结合；

(3)热点话题:一是三角函数的图像和性质，特别是三角函数的周期、极大值、单调性和图像变换；二是用三角恒等式变换简化和评价；三是向量、数列、二次函数的综合。四是利用正弦定理和余弦定理解决与测量和几何相关的实际问题。

(二)三角函数部分高考命题趋势

1，三角函数命题趋于稳定。仍将保持原有的考试风格。虽然命题的背景发生了变化，但它仍然是一个基础的、中级的、常规的问题。

2.新课标实施后，三角的题量和分值会略有下降。这并不是说三角函数失去了原有的地位和重要性，而是新一轮基础教育改革增加了许多全新的适合现代生活和科技发展的内容，它们会引起命题者的关注。比如上一轮改革引入了导数、极限、向量、线性规划的内容，在2004年得到了充分体现，因为包含这些知识点的考试成绩加起来多达40分。其实广东近两年的三角测试题已经缩减为一个小题和一个解题。2006年第三个小题严格意义上不是三角题，预计2007年不变。

3.三角函数的图像和性质是考查的重点。因为三角函数的图像和性质是学生今后学习高等数学和应用技术的基础，也是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的要求，势必会加大对三角函数的考查力度，使三角函数的图像和性质成为高考的一个热点，是三角解法的主要类型，具有一定的灵活性和综合性。

4.三角函数的简化求值是常见的题型。经常出现在小题中，或者作为解题中的小题，必然渗透着简单三角恒等式变换和三角函数的性质。重点讲解三角函数的基础知识、技能和方法。

5.测试应用程序并建立一个三角形模型。

新教材中增加了三角函数模型的简单应用，课程标准中专门将“潮汐与港口水深”的三角问题作为参考案例(原教材中，仅为阅读材料)。教材中有几处涉及到三角学在物理学中的应用，比如用函数的物理意义描述简谐振动和交流电，说明三角函数是描述周期变化的重要函数模型。表现出重视三角形应用的意图。

融入三角形的实际问题经常出现。这种题型既能考察解三角形的知识和方法，又能考察利用三角公式进行恒等式变换的技巧，所以近年来受到了命题者的青睐，比如2003年全国卷的台风袭击，2006年上海卷的救渔船。主要解决方法是充分利用内角和定理、正弦(余弦)弦定理、面积公式等。三角形的，并结合三角形公式进行三角形变换，从而得出解。

6、综合考查，体现三角形的工具性。

近年来，由于高考试题注重能力，加强了对知识综合性和应用性的考查，所以往往设计在知识的交叉点上。三角形知识的考察往往与平面向量、数列、立体几何、解析几何等相结合，突出三角形的工具性。尤其是平面向量与三角形的综合题，概率很高，因为新教材的内容非常关注如何利用向量处理三角形问题。这一线索从近两年各省市的高考题中也可以明显看出，应该引起老师们的高度重视。

第三，立足教材，加强基础训练

我们家乡有句话:“课本不到位，复习该死；如果你不能把大纲写好，考试时见。”

因为高考三角函数试题的生长点大多出现在课本上，所以三角函数的复习要坚持课本，高于课本。那么我们如何做到这一点呢？

首先，我们老师要注意回归课本。课本在第一轮复习中的重要性不言而喻，但是经常复习课本并不容易，因为老师手头都有配套的复习资料，经常丢在一边，有的甚至可能没有课本。我们不妨这样想象；如果我是提议者，我会怎么做？我当然会左手拿个“鸡”(考试大纲)，右手拿个“鸭”(课本)。尤其是现在新教材发生了很大的变化，我们更有必要去研究。

二是教育学生重视教材。我认为:无论我们在学生面前多么强调课本的重要性。虽然是第一轮复习，但是我们不可能重复课本，而且学生做复习资料太累，没有时间看管课本，会造成课本和资料的不平衡。除此之外，还有很多“眼高手低”的学生，没有耐心仔细阅读课本。那么我们该怎么办呢？我们不得不采取一些措施，比如，我们可以从课本上原封不动地抽出一道考题，让学生考一考，消磨他们的精神；还可以有意识地在学习计划中渗透课本上的典型例题和习题，等等。

三是充分发挥教材中典型例题和习题的作用。在集体备课中，如果负责每章备课的老师能从教材中选取典型例题和习题，以课外作业的形式让学生再做一遍，一定会取得很大的效果。当然，我们今年的教材是第一本出版的实验教材，难免会有一些不完善的地方。我把这本教材和下一本教材做了一个对比，发现有些微调，还有一些略复杂、难、偏的题目从习题中删掉了，比如:必修4，第三章，三角等价变换p 161(A组)。必修5第一章解三角形p 11(B组)1、P23(A组)9、P29(B组)1等。

相对来说，高考的三角形部分，更容易出现课本上习题和例题的变体和组合。这启示我们，复习时要注意两个方面:一是“立足课本，重在提高”，二是加强常规题型的归纳和掌握。这样才能保证这些题成为高考的主要评分题。

第四，关注大纲和考试重点，提高复习效率。

(一)紧扣大纲，把握高考命脉

《考试大纲》是数学高考试题的主要命题依据，是高中数学教学的纲领性、指导性文件。所以要认真研究考试大纲，准确把握复习方向。

由于课时紧张(尤其是理科)，在复习中要按照大纲规定的内容和要求，不要随意添加已经删除的知识点。比如三角函数只讲正弦、余弦、正切；相同角度的三角函数只有两个基本关系。

三角函数部分，不要求引入太难、太复杂、太技巧的题目。重点应放在知识理解的准确性、熟练性和灵活性上，复习时以中低档题目为主。

(2)掌握三角函数的概念、图像和性质。

在三角函数教学中，应发挥单位圆和三角函数线的作用。单位圆可以帮助学生直观地理解任意角度的三角函数，理解三角函数的周期性，归纳公式，三角函数同角度的关系，三角函数的图像和基本性质。复习时要求学生利用单位圆内的三角函数线推导归纳公式，画出的图像，了解参数对函数图像变换的影响。三角函数的性质有值域、周期性、奇偶性、单调性和最大值，其中单调性、最大值和最小值最为突出。

近年来，高考降低了对三角变换的考查要求，但加强了对三角函数的图像和性质的考查。所以三角函数的图像和性质是本章复习的一个重点。三角函数的复习要充分利用数形结合的思维方法，即借助形象(或三角函数线)的直观获得三角函数的性质，同时利用三角函数的性质描述函数的形象，揭示图形的代数性质。

(三)掌握三角函数的基本变换思想。

三角函数的恒等变形不仅在三角函数的化简和求值中是必要的，而且在三角函数的图像和性质的研究以及三角形的求解中也是不可避免的。解决三角常数变形问题，关键在于掌握基本的变换思想，利用三角常数变形的主要方式——变角、变函数、变结构，注意公式的灵活运用。

基本变换思路如下:1，变换成“三个一”:即变换成一个角度的三角函数的一次幂的形式；2.化为“两个一”:即化为一个角度的三角函数的二次结构，然后用匹配法求解；3.“合二为一”:对于有形状的公式，引入辅助角形成组合(注意这里不增加难度，只能用特殊值和特殊角)；4.用正弦定理、余弦定理和面积公式变换棱和角。

三角公式是三角变换的基本依据。在三角恒等式变换的复习中，可以引导学生利用向量的定量积推导两个角之差的余弦公式，并由此公式推导两个角之和差的正弦、余弦、正切公式和双角的正弦、余弦、正切公式，从而引导学生推导积之和差、和差积、半角的公式，作为三角恒等式变换的基础训练。通过对这些公式的探索以及利用这些公式进行三角变换，学生可以学会预测变换的目标、选择变换的公式和设计变换的方式，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力。

(四)强化三角函数的应用意识。

三角函数是一种基本而重要的函数，在数学、其他科学和生产实践中有着广泛的应用。新教材安排了解三角形的应用例题和练习作业，涉及到测量、导航等实际问题，还增加了三角函数模型的简单应用，其意图很明确:突出三角函数的应用。近年来，以三角函数为背景的应用试题在高考中形成了一个亮点。

复习三角函数要注意学科之间的关系。可以把物理、生物、自然中的周期现象(如单摆运动、波的传播、交流电)联系起来，通过具体的例子让学生认识到三角函数是描述周期现象的重要模型。

在解三角形的教学中，要注意正弦定理和余弦定理在探索三角形各角关系中的作用，引导学生理解它们是解决与测量和几何计算有关的实际问题的一种方法，不必进行太复杂的恒变形训练。

(五)有效提高三角函数的综合能力。

三角函数有很强的渗透力，可以与其他数学知识融合，尤其是与向量和几何的融合。注意三角和几何的综合试题，将角度作为自变量引入几何中建立函数模型或求解几个模型，可化难为易解题(见必修教材P156案例4)；注意三角和向量的综合试题。平面向量有极其丰富的实用背景，是沟通代数、几何、三角函数的工具。所以要通过三角函数、平面向量、下倾三角形的整合来复习知识，通过三角函数、平面向量、下倾三角形的整合来进行综合训练。

五、考点案例分析，为学生提供示范性解题指导。

1考点三角函数图像

三角函数图像是支撑三角函数知识体系的框架，也是学生学好三角函数的有力杠杆。

真题1(05天津)函数部分图像如图，函数表达式为

(A) (B)

(C) (D)

解析解1:从函数图像中我们可以看到函数过点，振幅，

周期、频率，将函数向右移动6个单位，得到

选择一个

解决方案2:可以用点的坐标替代进行筛选。选择一个.

评论1。本题目考查正弦曲线的图像变换以及图形与形状的等价变换能力。

2.一般来说，如果从一幅图像中获得正弦曲线的解析表达式，则确定参数，即:幅值从图像的最高点或最低点获得，由周期或半周期(相邻最大值点的横坐标之间的距离)确定。考虑到的唯一性，在确定的基础上把最大值点的坐标代入正弦函数的解析表达式，在给定区间内取值。

考点2三角函数的性质

如果说三角函数的形象是三角函数的骨骼，那么三角函数的本质就是三角函数的血肉。所以高考对三角函数性质的考查一直经久不衰。

三角函数的单调性和周期性

真题2号(福建2006)已知功能

(I)找出函数的最小正周期和单调递增区间；

(II)如何从函数的图像转换函数的图像？

分析(一)

最小正周期

从问题的含义中得到它

的单调递增区间是

(二)方法一:首先将图像上的所有点向左移动一个单位长度得到一幅图像，然后将得到的图像上的所有点向上移动一个单位长度得到一幅图像。

方法二:根据矢量平移图像上的所有点，得到图像。

本题点评主要考察三角函数的基本公式、三角恒等式变换、三角函数的性质和图像变换，以及推理和运算能力。

三角函数的最大值

真题3(04全国)的最小正周期，最大值，最小值。

分析，所以

评论1，灵活应用y=sinx，y=cosx的有界性研究某些类型三角函数的最大值(或值域)。

2.一般寻找三角函数性质的问题，如对称性、单调性、周期性、最大值、取值范围、画图等。，可以用三角公式把求的函数换成新的形式，然后根据已知的条件和它们的性质来求解。这类题几乎每年高考都是自由考查。

考点3三角函数评价

真题4(05天津)已知，求。

解析解1:基于问题设定的条件，应用两个角之差的正弦公式得到。

，即①

基于题目设定的条件和双角余弦公式的应用。

因此，②是由①和②派生出来的；所以②是由两个角之和的正切公式推导出来的。

解法二:从问题出发设置条件，应用双角余弦公式得出解法，即，

你能得到它是因为，并且，因此吗？因此，在第二象限中，下面的解是相同的。

评论1。本题目通过三角函数的求值来考察三角变换能力和运算能力，三角函数的求值可以通过变换已知角度和待求角度(两者都包含)之间的内在关系来得到。

2.在计算三角函数值时，一定要灵活运用公式，注意使用隐含条件，防止多解或漏解。

考点4解三角形

问题5(05湖北)在△ABC中，已知边上的中线BD=，求新浪的值。

解析解1:设E为BC的中点，接DE，然后接DE//AB，DE=

利用△BDE中的余弦定理，可以得到:BD2 = BE2+ED2-2BE？EDcosBED，

评论1。这个小题目主要考察正弦定理和余弦定理的基础知识，同时考察利用三角公式进行常数变形的技巧和运算能力。

2.在解决有关三角形的问题时，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理和余弦定理是常用的工具。注意三角形面积公式的使用和三角形内角和的限制。

考点三角函数合成

三角函数是一种重要的初等函数。由于其特殊的性质和与其他代数和几何知识的紧密联系，成为学习其他部分知识的重要工具和高考双基的重要内容之一。

三角形和向量

真题6(06四川)已知三角形有三个内角，向量，和

㈠找到角度；(二)如果，问

分析(一)∵∴，即∵∴∴

(二)从题目上，整理了一下。

∴∴∴或，并使，放弃∴，∴

点评本题，将向量量积的坐标运算融入三角函数，主要考察三角函数的概念，三角函数与同角的关系，三角函数两角和差的公式，归纳公式，求解方程，求三角函数的值。

三角形和序列

真题7(06陕西)“方程sin(α+γ)=sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”()。

A.必要和不充分条件b .充分和不必要条件c .充分和必要条件d .不充分和不必要条件

分析如果等式sin(α+γ)=sin2β成立，那么α+γ = kπ+(-1) k？2β，此时α，β，γ不一定是等差数列。

若α、β、γ成为等差数列，则2β=α+γ，方程sin(α+γ)=sin2β成立，所以“方程sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成为等差数列”的必要但非充分条件。选择a。

评论这个题目处于三角形和级数的交叉点，起过渡作用，重点是三角形。在知识网络的交叉点设计试题，容易起到测试数学能力的作用，是高考中常见的命题形式，需要注意。

三角形和方程

问题8:已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π处有两个解，求k的取值范围。

分析原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，作出函数y1= sin(x+)和y2=k在同一坐标系中的图像。对于y= sin(x+)的图像，设x=0，得到y=1。∴当了∴.国王

评论这个题目是用函数像的交点个数来判断方程的实解个数，要注意这个方法。

三角函数和二次函数

第9题(04广东)为真时，函数的最大值是()。

A.公元前2年第4天

分析，选择(d)。

评论转化为关于tanx的二次函数，用匹配法求最大值。

考点6三角函数的应用

如图10(上海，6月)，当A船位于A处时，获悉B处有渔船遇险，在其以东20海里处。A船立即前往救援，同时通知在A船西南30，相距10海里的B船，B船应在东北多少度的直线上前往救援(准确角度)。

从余弦定理解析连接BC，BC2 = 202+102-2×20×10cos 120 = 700。

因此，BC=10。* ∴sin∠acb=，

∫∠ACB & lt；90∴∠ACB = 41 ∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴8

点评把实际问题变成数学模型，然后用正弦定理和余弦定理解决测量和三角测量问题。

三角函数试卷(满分150，考试时间120分钟)

一、选择题(本大题* * 10题，每小题5分，***50分)

1和tan600的值是()。

(A) (B) (C) (D)

2.函数y = sin (2x+)的最小正周期是()。

(A) (B) (C) 2 (D) 4

3.“等式成立”就是“等差数列”()。

(a)充分和不必要条件(b)必要和不充分条件(c)充分和必要条件(d)不充分和不必要条件。

4、当量程是()

(A) (B) (C) (D)

5.如果是奇函数，可以是()。

(A) (B) (C) (D)

6.根据向量对函数的图像进行平移，平移后的图像如图所示，则平移后的图像对应的函数的解析式为()。

(A) (B) (C) (D)

7.如果△ABC面积S=，∠C=()

(A) (B) (C) (D)

8、在，如果，那一定是()

(a)等腰三角形(b)直角三角形(c)等腰直角三角形(d)等腰或直角三角形

9.的最大值和最小值分别为()。

(A)7、5 (B)7 、( C)5 、( D)7 、-5

10.已知向量和之间的夹角是()

(A) (B) (C) (D)

二、填空(本大题***4小题，每小题5分，***20分)

11.如果=，而且是第四象限的角，那么=；

12.如果是已知的，那么_ _ _ _ _ _ _ _；

13.已知的三个内角A、B、C组成一个等差数列，BC边的中线AD的长度为；

14.如果是周期为5，=4，cos，=的奇函数。

三、答题(这个大题是***6个小题，***70分)

15，(12分)已知，和，是方程的两个根，求COS()的值。

16(14分)△ABC的三个内角A、B、C，求A为时的最大值，求这个最大值。

17.(14分)已知函数的最小正周期(ⅰ)；

(ii)的最大值和最小值；(iii)如有的话，的价值。

18.(12分钟)如图，当A船位于A处时，得知B处有一船，位于其以东20海里处。

渔船遇险，等待救援。A船立即前往救援，同时告诉澎湃新闻，在A船西南30，相距10。

对于在海中C处的B船，B船应该以直线(准确角度)在北偏东多少度去救援？

19.(14分)。众所周知，它是一个三角形，有三个内角和矢量

㈠找到角度；(二)如果，问

20.(14分)已知B和C是实数，函数f(x)= has对于任意α和β R: and

(1)求f的值(1)；(2)证明:c；(3)设最大值为10，求f(x)。

三角函数试卷参考答案

一、选择题

DBBDB CCDDA

第二，填空

11、 12、 13、 14、—4

第三，回答问题

15、

16，解:从A+B+C=π，我们得到B+C2 = π 2-A2，所以有cosB+C2 =sinA2。

cosA+2 cosb+C2 = cosA+2 Sina 2 = 1-2 Sina 2 a 2+2 Sina 2

=-2(sinA2 - 12)2+ 32

当sinA2 = 12，即A=π3时，cosA+2cosB+C2的最大值为32。

17.解决方案:

(I)的最小正周期为；

(ⅱ)的最大值是总和最小值；

(iii)因为那就是，那就是

18，断开BC，由余弦定理得到

BC2 = 202+102-2×20×10科斯120 =700。

所以BC=10。

* ∴sin∠acb=，

∫∠ACB & lt；90 ∴∠ACB=41

∴船b应在71东北方向直线前往b救援。

19，解: (一)∵∴

也就是

,

∵ ∴ ∴

(二)从标题上看，

整理

∴ ∴

∴或

且使，舍ⅷ

∴

20.解法:(1)设α =和β =，所以；

(2)证明:从已知的，当，

当，通过数形结合，我们可以得到:化简得到C；

(3)从上面可以看出[-1，1]是的减法区间，那么可以得到联立方程。

因此