排列组合题

排列组合题是高考必考题。与实践相结合，生动有趣，但由于其题型多样，思路灵活，很难掌握。实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，巧妙运用，是解决排列组合应用题的有效途径。下面说说排列组合应用题的解题策略。

1.相邻问题的捆绑法:题目中规定将几个相邻的元素捆绑成一组，排列成一个大元素。

示例1。五个人并排站成一排。如果它们必须彼此相邻并且在右边，那么不同行的数目是()。

a，60种B，48种C，36种D，24种。

解析:如果右边固定一个人，这个问题相当于四个人的全部排列、种类、选择。

2.分离的问题:对于元素分离(即不相邻)的问题，可以先将所有没有位置要求的元素进行排列，然后将指定的分离元素插入上述元素的缝隙和两端。

例2。七个人并排站成一排。如果A和B一定不相邻，那么不同排列的个数是()。

a，1440种B，3600种C，4820种D，4800种。

解析:除了甲乙，其他五种排列都是种，然后用甲乙插六个空位。不同的排列是物种，所以选择。

3.排序问题的约简法:在排列问题中，需要限定某些元素来维持一定的顺序，可以采用约简倍数的方法。

例3。五个人并排站成一排。如果它们必须站在右边(不相邻)，那么不同排的数量是()。

a、24种B、60种C、90种D、120种

解析:右侧的排列数和左侧的排列数相同，所以题目的排列数只是五行即种、选总排列数的一半。

4.标签排序问题的分步方法:对指定位置的元素进行排序，可以先按照规定对一个元素进行排序，然后在第二步对另一个元素进行排序，以此类推，依次完成。

例4。用数字1，2，3，4填充四个方块中的数字1，2，3，4，在每个方块中填入一个数字，那么每个方块的数字与填入的数字不同。填充方法是()

a，6种B，9种C，11种D，23种。

解析:首先将1填入网格，有三种方式满足要求。第二，把格子里对应的数字填到另外三个格子里，还有三种方法。第三步:填写剩下的两个数字，只有一种填写方式，* * *有3×3×1=9种填写方式，选择。

5.有序分配问题:有序分配问题是指将元素分成若干组，这些组可以逐步分组。

例5。(1)甲、乙、丙三个任务，甲两个，乙、丙一个，从10中选出四人承担这三个任务，不同选择方式的人数为()。

a，1260种B，2025种C，2520种D，5040种。

分析:首先从10中选出两个人承担任务A，然后从剩下的八个人中选出1承担任务B，第三步从另外七个人中选出1承担任务c。

(2)12学生去三个不同的路口调查交通情况。如果每个路口有4个学生，不同的分配方案是()。

甲、乙、丙、丁、丙

回答:。

6.总体分布的分组方法:

例6。(1)四个优秀生全部保送三个学校，每个学校至少保送一个学生。有多少种不同的方案？

分析:有一种方法是把四个学生分成三组，然后有一种方法是把三组学生分配到三个学校，所以有一种方法。

注意:当分配的元素多于对象，并且每个对象都有一个元素分配时，通常是先分组再分配。

(2)5本不同的书，都分发给4个学生，每个学生至少有一本书，不同种类书的数量是()

a、480种B、240种C、120种D、96种。

回答:。

7.配额分配的分区方法:

例7: 10三好学生名额分为7个班，每个班至少有一个名额。有多少种不同的分配方案？

解析:10个位分为7类，即10个位视为10个相同的球分成7堆，每堆至少有一个，6块板可以插入10个球的9个空位，每种插入方式对应一种分配方案，所以* * *有不同的分配方案。

8.带约束的分布问题的分类；

例8。某大学从10选拔A系四名优秀毕业生到西部四个城市参加西部经济开发建设，其中A不在银川，B不在西宁。有多少种不同的调度方案？

解析:由于甲乙双方有限制性条件，根据是否包含甲方，有四种情况:

(1)甲乙双方都不参加的，会有派遣方案；(2)如果甲方参加，乙方不参加，有三种办法，先安排甲方，然后其余同学有办法，所以* * *有；(3)如果B参与，A不参与，同样存在物种；(4)甲乙双方参加的，甲方优先安排。有七种方法，然后剩下的八个人会被安排去另外两个城市。* * *有方法。所以，* * *有不同的调度方式。

9.多元问题分类:要素多，要拿出来的情况多。根据结果的要求，可以分为不兼容的情况，分别统计，最后汇总。

例9(1)由数字0、1、2、3、4、5组成，有六位数字没有重复数字，其中个位数小于十位的* * *有()。

a、210种B、300种C、464种D、600种。

解析:根据题意，单位数只能分别是0，1，2，3，4 * * * 5种情况。

a、合计共300，选。

(2)从100 (1，2，3…，100)中取任意两个数，使其乘积能被7整除。这两个数有多少种取法(不分先后)* * *？

解析:当两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积能被7整除，100个数的集合视为完备集I，能被7整除的个数的集合用14个元素标记为* *，能被7整除的个数的集合用86个元素标记为* *可以看出，从中间选择两个元素有两种方式，一个从中间，一个从中间* * *没错，选择符合要求的* * *也有两种方式。

(3)从1，2，3，…，100中取任意两个数，使其和能被4整除，有多少种方法(不分先后)？

解析:可以分成四个不相交的子集并能被4整除的数的集合；被4整除的数的集合是1，被4整除的数的集合是2，被4整除的数的集合是3。很容易看出，这四组中的每一组都有25个元素。需要从中间选两个数；也符合各取一号的要求；从中间取两个数也符合要求；此外，其他方法也不符合要求；因此，有很多种方法可以满足要求。

10.交集问题集法:排列组合问题的某些部分有交集，可以用求集合中元素个数的公式。

示例10。从6名运动员中选出4名运动员参加4×100米接力赛。如果A不跑第一段，B不跑第四段，有多少种不同的参赛方案？

解析:设完备集= { 6人中任意4名参与者的排列}，a = {第一名的排列}，b = {第四名的排列}，根据求集合中元素个数的公式，参赛方法* * *如下:

物种。

11.定位问题优先法:要在指定位置排列一个或几个元素，可以先排列这个或几个元素；安排其他元素。

例11.1老师和四位获奖学生排队拍照留念。如果老师不站在两端，有多少种不同的排列？

解析:老师在中间三个位置选一个，四个学生在另外四个位置各有一个方法；所以* * *有种。。

12.多行问题的单行法:将元素排列成几行的问题可以化简为一行，然后分段处理。

示例12。(1)六种不同的元素排成两行，每行三种元素，那么不同排列的物种数是()。

a、36种B、120种C、720种D、1440种。

解析:前后排可以看成是一排两段，所以这个问题可以看成是六个不同的元素排成一排，* * *种，选。

(2)8个不同的元素排成两行，每行4个元素，其中前排2个元素，后排1个元素。有多少种不同的排列？

解析:作为一行，某两个元素排列在前半段四个位置中的两个，某1元素排列在后半段四个位置中的一个，其他五个元素排列在五个位置，所以* * *有一种排列。

13.“最少”和“最多”的问题通过间接排除或分类来解决:

示例13。从4台A型和5台B型电视机中选择3台电视机，其中至少有一台A型电视机和一台B型电视机，那么不同的方法是* * *()。

a、140种B、80种C、70种D、35种。

1分析:逆向思维，至少每台电视的反面都是只选一个型号不选另一个，所以* * *的选择方式也不一样。

分析二:A型和B型至少有一台电视机可以分为A型1和B型2两种情况；2套A和1套B；所以，有不同的取法。

14.排序问题先拿后排:从几类元素中取出几个符合题意的元素，然后按一定位置排列。你可以先坐后排。

示例14。(1)将四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中。有多少种方法可以放一个空盒子？

解析:先将四个球中的两个作为一组，另外两组各有一个球。然后，四个盒子里有三种排，所以排也有三种。

九名乒乓球运动员，包括五男四女，将参加混合双打训练。有多少种不同的分组方法？

分析:先拿两男两女运动员来说，有两种。这四个运动员用中排练混双，所以* * *有两种。

15.部分合格问题排除法:所选总数中只有一部分合格，不合格的数可以从总数中减去，这就是需求。

示例15。(1)以立方体为顶点的四面体有()。

a，70种B，64种C，58种D，52种。

解析:理论上，一个立方体的八个顶点取四个点就可以形成一个四面体，但是六个面和六个对角面的四个顶点都不能形成一个四面体，所以实际上有四个四面体。

(2)四面体的顶点和各边的中点为***10个点，其中选取不***的四个点，* * *的不同方法是()。

a、150种B、147种C、144种D、141种。

解析:10点中有四种点* * *其中四点* * *面有三种情况:①一个四面体的四条边各有四个点* *面，有四个* * *面；(2)通过空间四边形各边中点的3个平行四边形；③有6个三角形穿过边上的三点和对边的中点。所以四个点都不是* * *面的情况下的物种数是1。

16.圆形排列问题的单行法:将不同的元素放置在圆周上未编号的位置的排列，顺序不同的排列(如顺时针)视为不同的排列，顺序相同的排列(即旋转一次即可重叠)视为相同。它和普通排列的区别在于它只计算顺序和首尾位置。以下普通安排:

圆形排列只有一种，因为旋转后可以重叠，所以认为同一元素有几种圆形排列。因此，一个元素可以固定地展开成一行，其他元素全部排列。

例16.5姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻。有多少种不同的站姿？

分析:首先，五个姐妹能站成一圈，属于圆形排列。然后在插入过程中，每个妹子都可以插入到妹子的左右。有两种方式，所以不同的安排不一样。

注意:从不同元素中取出元素进行循环排列* * *有不同的排列方式。

17.可重复排列幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，所以元素的位置可以一一排列。一般有两种方法计算不同位置不同元素的排列数。

示例17。六个实习生分配到七个车间实习，有多少种不同的方式？

分析:完成这件事有6个步骤，第一步；将第一个实习生分配到车间有七种不同的方案，将第二个实习生分配到车间有七种不同的方案，以此类推。根据分步计数的原理，有七种不同的方案。

18.复杂排列组合问题的构造模型方法:

示例18。路上有9盏编号为1，2，3…，9的路灯。现在要关三个，不能关相邻的两三个灯，也不能关两端的两个灯。有多少方案符合要求？

解析:此问题视为两两模型，将三个未点亮的灯插入六个点亮的灯的五个缝隙中，则有10个满足要求的照明方案。

注:一些难以理解的排列组合问题，如果能转化为填空模型、排队模型、盒装模型等大家熟悉的模型，就很容易解决了。

19.对于元素较少的排列组合问题，可以考虑枚举:

示例19。有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子。现在将这五个球放入五个盒子中，并要求每个盒子中有一个球，只有两个球的号码与盒子的号码相同。有多少种不同的方法？

解析:五个球中有两个球和盒子的编号相同，剩下的三个球无法对应三个盒子的序列号。用枚举法，如果剩下球3、4、5和箱子3、4、5，球3就不能放进箱子3。当球3放入盒子4时，球4和5的摆放方式只有1种，当球3放入盒子5时，

20.复杂的排列组合问题也可以通过分解和合成来解决:

例20。(1) 30030能被多少个不同的偶数整除？

分析:先把30030分解成质因数:30030 = 2×3×5×7×11×13；根据题意，必须取偶数因子2，必须取3，5，7，11，13这五个因子中的任意一个，才能形成乘积。所有偶数因子都是

答.

(2)一个立方体的八个顶点可以连接多少条不同平面的线？

解析:因为一个四面体只有三对非平面直线，所以问题可以分解为一个立方体的八个顶点可以组成多少个不同的四面体，从一个立方体的八个顶点中随机选取四个顶点组成四个四面体，所以有3×58=174对非平面直线可以由八个顶点连接。

21.运用对应思想转化法:对应思想是渗透在教材中的一种重要的解题方法，可以把复杂的问题转化为简单的问题。

例21。(1)圆周上有10个点。与这些点相交的弦在圆里有多少个点？

解析:由于圆的内接四边形的两条对角线相交于圆内的一点，圆的内接四边形对应于圆内两条弦相交的一个交点，所以问题转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然圆周上有10个点，以这些点为端点的弦在圆内相交的地方有10个点。

(2)城市的区块由12个全等矩形组成，其中实线代表道路。从到的最短路径是什么？

解析:图中矩形的一边可以称为短段，最短路线必须走7个短段，包括:向东4段，向北3段；而且前一段的尾和后一段的头是连在一起的，所以只要确定向东走四段的路就可以确定路径，所以有不同的走法。