数学问题

1.面对国际金融危机，一家铁路旅行社推出了以下标准来吸引市民组织游览某个景点:

不超过25人，不超过25人但不超过50人，不超过50人。

人均旅游费用1.500元。每增加1人，人均出行费用以20元为单位减少1万元。

某单位组织员工去景区旅游，X人参加，旅游费用Y元。

(1)请写出y和x的函数关系；

(2)如果这个单位有45人，这次旅游至少有26人要去，那么单位最多应该出多少钱的旅游费用？

24.解:(1)根据题意:

当. 1点

当，2分。

那是3分。

时，. 4分。

(2)从题意上看，

因此，函数关系选择为:. 5点。

公式，得分. 7分

因为，因此，抛物线向下开口，又因为对称轴是一条直线。

所以当，这个函数随着. 8点的增加而增加。

所以当有一个最大值时，

(元)

因此，单位最多应支付差旅费49500元。

3.(重庆江津区，2009)某商场销售旺季临近，某品牌童装销售价格呈上涨趋势。如果该类童装初始价格为20元/件，每周(7天)2元涨价，则从第6周开始维持每件30元的稳定价格，直至11周结束，该童装不再销售。

(1)请建立销售价格y(元)与周x的函数关系；

(2)如果该品牌童装在进货的一周内售罄，每件童装的进价z(元)与一周x的关系为1≤ x ≤11，x为整数，那么该品牌童装在哪个周获得的利润最大？最大利润是多少？

关键词二次函数极值

回答回答(1)

(2)让利

什么时候，

什么时候，

总结一下:11周进货销售后，利润最大，每件人民币。

滨州(2009)某商品进价40元/件。价格60元每件的时候一周能卖300件，现在要降价了。据市场调研，每降价1元，每周能卖出20件。在保证盈利的前提下，回答以下问题:

(1)假设每件商品的降价幅度和每周售出商品的利润为人民币，请写出与的函数关系，并找出自变量的取值范围；

(2)降价几元时，周利润最大？最大利润是多少？

(3)请画出上述函数的大概图。

二次函数的实际应用。

答案(1)y =(60-x-40)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-，0≤x≤20；

(2)y=-20 ,∴当x==2.5元时，周利润最大，最大利润为6135元；(3)图像省略。

(滨州，2009)如图①所示，一个产品标志的横截面图形由一个等腰梯形和一部分抛物线组成。在等腰梯形中，对于抛物线部分，其顶点是两点的中点并经过两点，开口端的连线平行且相等。

(1)如图①所示，在以一点为原点，以直线为轴的坐标系中，该点的坐标为，

试求两点的坐标；

(2)求标志的高度(即标志最高点到梯形底所在直线的距离)；

(3)根据实际情况，需要在logo截面图梯形部分的外围均匀涂上3cm厚的保护膜，如图②所示。请补充图中完整涂层部分的示意图，并找出涂层的外围周长。

二次函数和等腰梯形。

回答(1) A (-10，5)，B (10，5)；(2)

12，(黄冈市，2009)新兴电子科技有限公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成太阳能光伏电池生产线。由于新产品开发初期成本高，市场占有率低，该产品已投产一年。公司经历了从最初亏损到逐渐盈利的过程(公司每月最后一天结算盈亏1次)。公司累计利润y(万元)与销售时间X(月)的函数关系(即前X个月利润总额y与X的关系)都在图中所示的图像上。图像从左到右依次是直线OA、曲线AB、曲线。其中曲线AB是抛物线的一部分，点A是抛物线的顶点，曲线BC是另一条抛物线的一部分，点A、B、C的横坐标分别为4，10和12。

(1)求公司累计利润y(万元)与时间X(月)的函数关系；

(2)直接写出X月得到的S(万元)与时间X(月)的函数关系(无需写出计算过程)；

(3)前12个月，公司哪个月盈利最多？最大利润是多少？

待定系数法；函数极值问题

当答案为(1)时，线段OA的函数关系为:

什么时候，

由于曲线AB所在抛物线的顶点是A(4，-40)，设其解析式为

在中，设x=10，得到；∴B(10,320)

∫b(10，320)在这条抛物线上。

∴

解决

什么时候，=

总而言之，

(2)什么时候，

什么时候，

什么时候，

(3)10月期间公司盈利最多，最高盈利165438+万元。

13，(2009武汉)某商品进价40元/件，售价50元/件，每个月能卖出210件；如果每件商品的价格增加1元，每个月就会少卖10件(每件商品的价格不能高于65元)。让每件商品的价格增加人民币(正整数)，每月销售利润为人民币。

(1)求和的函数关系，直接写出自变量的取值范围；

(2)当每件商品的售价定为几元时，每月能获得最大利润？每月最大利润是多少？

(3)当每件商品的价格定在多少元时，月利润正好是2200元？根据以上结论，请直接写下价格区间，每月利润不低于2200元。

关键词二次函数应用；二次函数极值

答案解法:(1)(和一个整数)；

(2) .

，当，有一个最大值2402.5。

，并且是整数，

当，(元)，当，(元)

当售价定为每件55或56元时，月利润最高为2400元。

(3)当，，解为:。

当，当，。

当售价定为51或60元时，每月盈利2200元。

当售价不低于51或60元时，每月盈利2200元。

卖价不低于51元且不高于60元且为整数时，月利润不低于2200元(或卖价分别为51、52、53、54、55、56、57、58、59、60元时，月利润不低于2200元)。

21，(贵州省黔东南州，2009)凯里市某大型酒店有100个包间。每天晚餐营业时间，每间包房收费100元时，包房可全部出租；每间包房收费增加20元，减10间，每间包房收费增加20元，减10间，改变每次增加20元的方法。

(1)如果每个包间的收费增加X(元)，则每个包间的收入为y1(元)，但房间租金会减少y2。请分别写出y1，y2，X之间的函数关系。

(2)为了以较少的投入获得较大的收益，每间包房增加X(元)后，让酒店老板假设包房每天吃饭的总收入为Y(元)。请写出Y和X之间的函数关系，找出每个包间每天晚餐要增加多少元才能获得最大的房费收入，并说明理由。

关键词二次函数的应用

回答:(1)，

(2)，即:y

因为在涨价之前，包间费的总收入是100×100 = 10000。

当x=50时，最大包间收入可以是11250元，因为11250 & gt；10000。而且因为每次涨价到20元，每个包间的年夜饭都要涨到40元或者60元。

25.(吉林省，2009)某数学研究所门前有一个边长4米的方形花坛。花坛里要种红、黄、紫色的花，如图。在图案中，红色花朵计划种植在形状像Rt的四个全等三角形城市中，黄色花朵种植在形状像Rt的四个全等三角形城市中，紫色花朵种植在正方形中。每朵花的价格如下:

红花、黄花和紫色花草的品种

价格(元/平方米)60 80 120

假设长度是米，面积是平方米，买花草的费用是元。回答以下问题:

(1)和之间的函数关系是:

(2)找出最小成本和多少之间的函数关系；

(3)购买花卉的成本最低时，需求长。

二次函数极值问题，与二次函数相关的面积问题

答案:(1)

(2)

=60

=80

公式，获取

时，袁。

(3)设置仪表，然后。

在Rt中，

解决

的长度是米。

38.(鄂州，2009) 24。如图，某学校计划将一块空地的生态环境改造成锐角三角形ABC的形状。已知△ABC的边长BC为120米，高AD为80米。学校计划将其分为四部分:△AHG、△BHE、△GFC和长方形的EFGH(如图)。矩形EFGH的一边EF在边BC上，另外两个顶点H和G分别在边AB和AC上。现拟在△AHG种草，每平方米投资6元；△BHE和△FCG种花，每平方米投资10元；在长方形的EFGH上建一个爱心鱼塘，每平方米投资4元。

(1)当FG的长度为几米时，种草的面积等于种花的面积？

(2)当矩形EFGH的边长FG为几米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值是多少？

关键词二次函数的应用

答(1)设FG=x米，则AK = (80-x)米，可得△AHG∽△abbcc = 120，AD=80:

∴

BE+FC=120- =

∴ x=40。

∴当FG长度为40m时，种草的面积等于种花的面积。

(2)设改造后总投资为W元。

W=

=6(x-20)2+26400

∴当x=20时，w最小=36400。

答:当矩形EFGH边长FG为20米时，空地改造总投资最小，最小值为26400元。

43.(烟台市，2009)某商场以2400元销售进价2000元的冰箱，平均每天售出8台。为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查显示，这类冰箱每降价50元，平均每天能卖出4台冰箱。

(1)假设每台冰箱降价X元，每天在商场卖出这台冰箱的利润是Y元。请写出Y和X之间的函数表达式；(不要求写自变量的范围)

(2)如果一个商场想在这种冰箱的销售中每天获利4800元，同时让利于民，那么每台冰箱的价格应该降低多少？

(3)当每台冰箱降价几元时，商场每天销售这种冰箱的最高利润是多少？利润最高是多少？

关键词二次函数的实际应用

回答

解:(1)根据题意，

即。

(2)从题意上，得出。

整理一下，拿过来。

要解这个方程，你必须。

为了造福人民，我们应该把每台冰箱降价200元。

(3)对于，

什么时候，

。

所以每台冰箱降价150元时，商场利润最大，最高利润5000元。

(日照，2009)为了保持仓库内的湿度和温度，如图所示，在仓库周围的墙壁上安装了自动通风设施。设施下部ABCD为矩形，其中AB = 2m，BC = 1m；上CDG是等边三角形，不动点E是AB的中点。△ EMN是由电脑控制形状变化的三角形通风窗(阴影部分不通风)，MN是可沿设施边界上下滑动并始终保持与AB平行的伸缩横杆。

(1)当MN与AB的距离为0.5m时，求△EMN此时的面积；

(2)设MN与AB的距离为米，试将△EMN的面积s(平方米)表示为x的函数；

(3)请探究△EMN的面积s(平方米)是否有最大值，如果有，求这个最大值；如果没有，请说明原因。

二次函数的极值问题，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质

回答

解:(1)从题意来看，当MN与AB的距离为0.5m时，MN应位于DC的下方，△EMN中MN边的高度为0.5m .

因此，S△EMN= =0.5(平方米)。

也就是说△EMN的面积是0.5平方米。

(2)①如图1所示，MN在矩形区域内滑动时，

即当0 < x ≤ 1时，

△EMN的面积s = =

②如图2所示，当MN在三角形区域滑动时，

即1 < x

如图，连接EG，在f点交叉CD，在h点交叉MN，

E是AB的中点，

∴ F是CD，GF⊥CD和FG =的中点。

还有\mn‖CD，

∴ △MNG∽△DCG。

也就是∴。

因此△EMN的面积为s =

= ;

合成可用:

(3)①当MN在矩形区域内滑动时，有；

②当MN在三角形区域滑动时，S=。

因此，当(m)时，s得到最大值，

最大值S= = =(平方米)。

∵ ,

∴ S有一个最大值，最大值是平方米。

(重庆，2009)某电视机生产企业去年在农村销售某品牌电视机，每台电视机的价格与月份x满足一个函数关系，去年的月销量P(万台)与月份x成线性函数关系，两个月的销售情况如下:

六月65438+十月五月

销量分别为3.9万台和4.3万台。

(1)这个品牌的电视机去年几月下乡销售金额最大？最高是多少？

(2)由于国际金融危机的影响，该品牌电视机今年2、6月份销售到农村的价格低于去年2月份，月销量低于去年2月份。国家实行“家电下乡”政策，即给农村家庭购买新家电。国家按照该产品售价的13%给予财政补贴。受此政策影响，该厂家在农村地区销售的这种电视机，月平均销量比今年2月增加1.5万台，同时保持今年2月的销售价格不变。如今年3-5月国家对该类电视机销售给予财政补贴936万元，则要求。

(参考数据:，，，)

线性分辨函数的确定，二次函数的极值问题，一元二次方程的应用。

答案(1)是去年月销量P(万台)与X月的线性函数是，根据题意，可以求解。

∴ .

如果这个品牌电视机在农村的销售金额是W万元，那么

= =

去年7月，该品牌电视机销售到农村的销售金额最大，最大金额为1.01.25万元。

(2)当，…

根据问题和等式的含义，我们可以得到

整理一下，拿过来。

解决方案是(四舍五入)或。所以值是52.8。

66.2009年在包头，一家商场试卖一种服装，每件成本60元。约定试销期间销售单价不得低于成本单价，利润不得高于45%。试销售后发现销售量(件)与销售单价(元)符合线性函数，同时；当，。

(1)求线性函数的表达式；

(2)如果商场利润为人民币，试写出利润与销售单价的关系；当销售单价定在多少元时，商场可以获得最大利润。最大利润是多少？

(3)如果商场利润不低于500元，尽量确定销售单价的区间。

线性函数，二次函数，最大值

解:(1)根据题意。

求线性函数的表达式是。(2分)

(2)

，(4分)

抛物线的开口是向下的，它随着的增大而增大，

而且，

当，。

当销售单价设定为87元时，商场可以获得最大利润，最大利润为891元。(6分)

③由，得到，

整理，解决，。(7分)

从图像中可以看出，为了使这个商城的利润不低于500元，销售单价应该在70元到110元之间，所以销售单价的范围是。(10分)。

(重庆江津区，2009)某商场销售旺季临近，某品牌童装销售价格呈上涨趋势。如果这种童装的初始价格是20元每件，每周(7天)涨价2元，那么从第六周开始，童装就以稳定的价格销售，直到11周结束。

(1)请建立销售价格y(元)与周x的函数关系；

(2)如果该品牌童装在进货的一周内售罄，每件童装的进价z(元)与一周x的关系为1≤ x ≤11，x为整数，那么该品牌童装在哪个周获得的利润最大？最大利润是多少？

关键词二次函数极值

回答回答(1)

(2)让利

什么时候，

什么时候，

总结一下:11周进货销售后，利润最大，每件人民币。

102，(皖年2009) 23。已知某种水果的批发单价与批发数量的函数关系如图(1)。

(1)请说明图中两个函数图像的实际意义。

解决

(2)在W(元)到m(公斤)的批发金额之间写下该种水果的批发资金金额

功能关系；在下面的坐标系中画出函数图像；指出金额是多少

在一定范围内，用同样的资金可以大量批发这种水果。

解决

(3)经调查，某经销商销售的该种水果最高日销量与零售价之间的一封信。

如图(2)所示，经销商计划每天销售60多公斤这种水果。

并且当天零售价不变，请帮经销商设计购销方案。

将当天获得的利润最大化。

解决

二次函数综合

答(1)解:图①显示该水果批发量不小于20kg，不大于60kg。

按照5元/公斤批发；.....3分

图②显示该水果批发量高于60kg，可按4元/kg批发。

(2)解法:Get:从题意出发，函数图像如图。

从图中可以看出，当资金量满足240 < w ≤ 300时，可以使用相同的资金量

大量批发这种水果。

(3)解决方案1:

假设当天的零售价为X元，从图中可以得出每天的最大销量。

当m > 60时，x < 6.5。

从问题的含义来看，销售利润是

当x = 6时，m = 80。

即经销商要批发80kg这种水果，每天零售价定为6元/斤。

当天最大利润160元。

解决方案2:

日最大销量xkg (x > 60)。

那么图②中的日零售价格p满足:，所以

销售利润

当x = 80时，p = 6。

即经销商要批发80kg这种水果，每天零售价定为6元/斤。

当天最大利润160元。

(茂名市，2009)茂名石化乙烯厂某车间生产A、B塑料的相关情况如下。请回答以下问题:

出厂价污水处理费

一个塑料2100(元/吨)800(元/吨)200(元/吨)

b塑料2400(元/吨)1100(元/吨)100(元/吨)

还需要每月支付设备管理、

维修费2万元。

(1)假设车间每月生产吨A、B塑料，利润分别为元和元，分别得到sum和sum的函数关系(注:利润=总收入-总支出)；(6分)

(2)已知车间每月生产塑料A、B不超过400吨。如果一个月要生产700吨塑料A和塑料B，那么那个月要生产多少吨塑料A和塑料B，总利润最大？最大利润是多少？(4分)

2009年，山东省青岛市某水产养殖企业对历年市场情况和水产养殖情况进行了调查，以指导某水产品的养殖和销售。调查发现，这种水产品每公斤价格(元)满足与销售月(月)的关系，而每公斤成本(元)与销售月(月)的函数关系如图所示。

(1)试确定值；

(2)求该水产品每公斤利润(元)与销售月(月)的函数关系；

③“五？“1”之前，这种水产品每公斤的利润在哪个月最大？最大利润是多少？

二次函数和抛物线的相关概念，二次函数的极值

答:(1)由题意:

解决

(2)

；

(3)

∵ ,

抛物线开口向下。

在对称轴的左侧，它随着的增大而增大。

因为题中的意思，4月份卖的这种水产品每公斤利润最大。

最大利润(元)。