2010南京中考数学题

(1) ①当E和A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可求出其面积；

②当E和A不重合时；很容易证明△AEM≔△DFM，则EM=FM，由勾股定理可以很容易地求出EM的长度，从而可以求出EF的长度；我们来求MG的长度，如果m是n中的MN⊥BC，那么AB=MN=2AM。由于∠AME和∠NMC都是∠EMN的余角，我们可以证明△AEM∽△NCM，并且根据相似三角形得到的AM，MN，EM，MC的比例关系。

(2)可以分别确定E和A与E和B重合时点P的位置。这时可以发现，PP′正好是△egg′的中线，P点的移动距离是gg′的一半；在rt△BMG '′，mg⊥BG′中，很容易证明∠mbg =∠gmg′。根据∠ MBG的正切值，得出GG′与GM(即正方形的边长)的比例关系，就可以得到解。解法:(1)。

当e点与a点不重合时，0 < y ≤ 2。

在正方形ABCD中，∠ A = ∠ ADC = 90。

∴∠MDF=90 ,∴∠A=∠MDF

AM = DM，∠AME=∠DMF

∴△AME≌△DMF

∴ME=MF

在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME = $ \ sqrt {{x} {2}+1} $

∴ef=2me=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$

m是MN⊥BC，竖脚是n(如图)。

那么< mng = 90，< amn = 90，MN=AB=AD=2AM。

∴∠AME+∠EMN=90

∠∠EMG = 90

∴∠GMN+∠EMN=90

∴∠AME=∠GMN

∴Rt△AME∽Rt△NMG

∴$ \ frac { am } { nm } $ = $ \ frac { me } { mg } $，即$ \ frac { me } { mg } $ = $ \ frac { 1 } { 2 } $

∴mg=2me=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$

∴y=$\frac{1}{2}$ef×mg=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{x}^{2}+1}$×2$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2x2+2

Y = 2x2+2，其中0≤x≤2；(6分)

(2)如图所示，PP’为点P的移动距离；

在Rt△BMG '，mg⊥BG '；

∴∠mbg=∠g′mg=90-∠BMG；

∴tan∠bmg=tan∠gmg′=2；

∴gg′=2bg=4；

△MGG’，P和P’分别是MG和MG’的中点，

∴PP'是△mgg’的中线；

∴pp′=$\frac{1}{2}$gg′=2；

即，点P的移动路线的长度是2。(8分)