求复旦近年自主招生话题

一、填空(每道小题10分，***60分)

1.将自然数按顺序分组:第一组包含一个数，第二组包含两个数，第三组包含三个数，...，第n组包含n个数，即1；2,3;4,5,6;......设an是第n组的和，那么an = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

2.=______________.

3.=_________________.

4.已知平行六面体的底面是菱形，其锐角等于60度，通过这个锐角的侧边与锐角的两边成相等的角，与底面成60度角，那么两个对角面的面积之比就是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

5.正实数x和y满足关系x2？xy？4 = 0，而如果x≤1，y的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

6.一列500米长的火车在直线轨道上匀速行驶。当列车尾部经过一个站台时，有人驾驶摩托车从站台上追出列车并向列车司机发送紧急信息，然后以原速度返回。在返回过程中遇到列车尾部时，此人发现它距离站台1000米。假设摩托车速度不变，摩托车从出发到站台已经行驶了_ _ _ _ _ _ _ _ _。

二、解决问题(每道小题15分，***90分)

1.数列{an}适用于递推公式An+1 = 3an+4，A1 = 1。找出序列的前n项和Sn。

2.证明:椭圆焦点发出的光，经过光滑的椭圆壁反射后，必定经过另一个焦点。你知道其他圆锥曲线的光学性质吗？请描述但不必证明。

3.正六角锥的高度大于h，相邻两个边的夹角等于，

求金字塔的体积。()

4.设z1，Z2，Z3，Z4为复平面上单位圆上的四个点。如果z1+Z2+Z3+Z4 = 0。

证明:这四个点形成一个长方形。

5.设，其中xn和yn是整数，求n→∞的极限。

6.假设一个平面上有三个点，任意两点之间的距离不超过1。问:一个圆盘覆盖这三点的最小半径是多少？请证明你的结论。